Номер 419, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

419. (Для работы в парах.) С помощью графиков решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} xy = 6, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}$ б) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ y - x^2 = 0. \end{cases}$

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений и определены координаты точек пересечения графиков.

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной координатной плоскости и найти координаты точек их пересечения. Каждое уравнение в задании задает определенное множество точек на плоскости:

В системе а):

• Уравнение $xy = 6$ задает гиперболу, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

• Уравнение $2x - 3y = 6$ задает прямую линию.

В системе б):

• Уравнение $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$ задает окружность с центром в точке (3; 4) и радиусом 2.

• Уравнение $y - x^2 = 0$ задает параболу, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат.

а) Решим систему уравнений: $\begin{cases} xy = 6 \\ 2x - 3y = 6 \end{cases}$

1. Построим график первого уравнения $xy = 6$. Это гипербола. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$. Составим таблицу значений:

2. Построим график второго уравнения $2x - 3y = 6$. Это прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим $y$ через $x$: $3y = 2x - 6$, откуда $y = \frac{2}{3}x - 2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
• если $x=0$, то $y = \frac{2}{3}(0) - 2 = -2$. Точка (0; -2).
• если $y=0$, то $0 = \frac{2}{3}x - 2 \implies \frac{2}{3}x = 2 \implies x=3$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат. Гипербола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Определим их по графику. Точки пересечения имеют приблизительные координаты $(-1.85, -3.24)$ и $(4.85, 1.24)$.

Ответ: $(-1.85, -3.24)$, $(4.85, 1.24)$.

б) Решим систему уравнений: $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ y - x^2 = 0 \end{cases}$

1. Построим график первого уравнения $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус.
В нашем случае центр окружности находится в точке $(3, 4)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

2. Построим график второго уравнения $y - x^2 = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

3. Построим окружность и параболу в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Определим их по графику. Точки пересечения имеют приблизительные координаты $(1.6, 2.56)$ и $(2.4, 5.76)$.

Ответ: приблизительно $(1.6, 2.6)$ и $(2.4, 5.8)$.