Номер 423, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

423. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ y^2 - 9 = 0. \end{cases} $

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения на координатной плоскости и найти координаты точек их пересечения.

1. Анализ и построение графика первого уравнения $x^2 - 4 = 0$

Преобразуем первое уравнение системы:

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

Данное уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Каждый из этих корней представляет собой уравнение прямой на координатной плоскости. График уравнения $x=2$ — это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(2, 0)$. График уравнения $x=-2$ — это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$. Таким образом, графиком уравнения $x^2 - 4 = 0$ является совокупность двух вертикальных прямых.

2. Анализ и построение графика второго уравнения $y^2 - 9 = 0$

Преобразуем второе уравнение системы:

$y^2 - 9 = 0$

$y^2 = 9$

Данное уравнение также имеет два корня: $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Каждый из этих корней также представляет собой уравнение прямой. График уравнения $y=3$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$. График уравнения $y=-3$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -3)$. Таким образом, графиком уравнения $y^2 - 9 = 0$ является совокупность двух горизонтальных прямых.

3. Нахождение точек пересечения

Решениями системы являются координаты точек, в которых графики уравнений пересекаются. В нашем случае это точки пересечения двух вертикальных прямых ($x=2$ и $x=-2$) и двух горизонтальных прямых ($y=3$ и $y=-3$).

Найдем все точки пересечения:

1. Пересечение прямых $x=2$ и $y=3$ дает точку с координатами $(2, 3)$.

2. Пересечение прямых $x=2$ и $y=-3$ дает точку с координатами $(2, -3)$.

3. Пересечение прямых $x=-2$ и $y=3$ дает точку с координатами $(-2, 3)$.

4. Пересечение прямых $x=-2$ и $y=-3$ дает точку с координатами $(-2, -3)$.

Таким образом, мы получили четыре точки пересечения, которые и являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$.