Номер 428, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

428. Из деревни в город, находящийся на расстоянии 72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что они встретились в середине пути.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста, который выехал из деревни. Согласно условию, второй велосипедист ехал на 2 км/ч быстрее, следовательно, его скорость равна $v_2 = v_1 + 2$ (км/ч).

Общее расстояние между деревней и городом составляет 72 км. Велосипедисты встретились в середине пути, это означает, что каждый из них проехал до места встречи половину всего расстояния:
$S = \frac{72}{2} = 36$ км.

Время, которое затратил первый велосипедист, чтобы проехать 36 км, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно:
$t_1 = \frac{36}{v_1}$ часов.

Время, которое затратил второй велосипедист, чтобы проехать свои 36 км, равно:
$t_2 = \frac{36}{v_2} = \frac{36}{v_1 + 2}$ часов.

Из условия известно, что второй велосипедист выехал на 15 минут позже первого. Переведем 15 минут в часы для согласования единиц измерения:
15 мин = $\frac{15}{60}$ часа = $\frac{1}{4}$ часа.
Это означает, что время первого велосипедиста в пути было на $\frac{1}{4}$ часа больше, чем время второго велосипедиста. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:
$\frac{36}{v_1} - \frac{36}{v_1 + 2} = \frac{1}{4}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(v_1 + 2)$:
$\frac{36(v_1 + 2) - 36v_1}{v_1(v_1 + 2)} = \frac{1}{4}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36v_1 + 72 - 36v_1}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{4}$
$\frac{72}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:
$v_1^2 + 2v_1 = 72 \times 4$
$v_1^2 + 2v_1 = 288$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v_1^2 + 2v_1 - 288 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Найдем корни уравнения по формуле $v_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_{1,1} = \frac{-2 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$
$v_{1,2} = \frac{-2 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{1,2} = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста $v_1 = 16$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = v_1 + 2 = 16 + 2 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 16 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.