Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

426. При каких значениях $a$ решением системы уравнений

$$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $$

является пара положительных чисел?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых решение системы уравнений является парой положительных чисел, сначала решим данную систему относительно переменных $x$ и $y$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$. Сложим первое уравнение со вторым:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

Приводим подобные слагаемые:

$4x = 2a$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в первое уравнение системы ($x + y = a + 1$), чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

Выражаем $y$:

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2a}{2} - \frac{a}{2} + 1 = \frac{a}{2} + 1 = \frac{a + 2}{2}$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = \frac{a}{2}$ и $y = \frac{a + 2}{2}$.

По условию задачи, $x$ и $y$ должны быть положительными числами, то есть $x > 0$ и $y > 0$. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a + 2}{2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) Из неравенства $\frac{a}{2} > 0$ следует, что $a > 0$.

2) Из неравенства $\frac{a + 2}{2} > 0$ следует, что $a + 2 > 0$, откуда $a > -2$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $a > 0$ и $a > -2$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал, в котором выполняются оба неравенства. Если число больше 0, оно автоматически больше -2. Следовательно, общее решение — это $a > 0$.

Ответ: при $a > 0$

427. Докажите, что при $a > -1$ выражение $ \left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) : \frac{4a}{5a-5} $ принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение и проанализировать его знак с учетом заданных условий.

Исходное выражение: $\left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) : \frac{4a}{5a-5}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, и делитель не может быть равен нулю.

Из знаменателей дробей получаем:

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$

$a+1 \neq 0 \implies a \neq -1$

$5a-5 = 5(a-1) \neq 0 \implies a \neq 1$

Делитель $\frac{4a}{5a-5}$ не должен быть равен нулю, что означает, что его числитель не равен нулю:

$4a \neq 0 \implies a \neq 0$.

По условию задачи также дано, что $a > -1$. Объединяя все условия, получаем, что допустимыми значениями для $a$ являются все числа, удовлетворяющие условиям $a > -1$, $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

Теперь упростим выражение. Начнем с действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$:

$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя:

$(a+1)^2 - (a-1)^2 = ((a+1)-(a-1))((a+1)+(a-1)) = (a+1-a+1)(a+1+a-1) = (2)(2a) = 4a$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4a}{(a-1)(a+1)}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} : \frac{4a}{5a-5} = \frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5a-5}{4a}$

Разложим на множители выражение $5a-5 = 5(a-1)$ и подставим в выражение:

$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{5(a-1)}{4a}$

Сократим общие множители $4a$ (так как по ОДЗ $a \neq 0$) и $(a-1)$ (так как по ОДЗ $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{4a}}{\cancel{(a-1)}(a+1)} \cdot \frac{5\cancel{(a-1)}}{\cancel{4a}} = \frac{5}{a+1}$

Мы упростили исходное выражение до $\frac{5}{a+1}$. Теперь нужно доказать, что это выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях $a$, для которых $a > -1$.

По условию $a > -1$. Прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$a+1 > -1+1 \implies a+1 > 0$.

Значит, знаменатель дроби $\frac{5}{a+1}$ всегда положителен для заданных значений $a$. Числитель дроби, равный 5, также является положительным числом. Частное двух положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, выражение $\frac{5}{a+1}$ всегда больше нуля при $a > -1$ и всех допустимых значениях $a$. Это доказывает, что и исходное выражение принимает положительные значения.

Ответ: Выражение было упрощено до $\frac{5}{a+1}$. Поскольку по условию $a > -1$, то знаменатель $a+1 > 0$. Так как числитель 5 также положителен, всё выражение является положительным для всех допустимых значений $a$. Что и требовалось доказать.

428. Из деревни в город, находящийся на расстоянии 72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что они встретились в середине пути.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста, который выехал из деревни. Согласно условию, второй велосипедист ехал на 2 км/ч быстрее, следовательно, его скорость равна $v_2 = v_1 + 2$ (км/ч).

Общее расстояние между деревней и городом составляет 72 км. Велосипедисты встретились в середине пути, это означает, что каждый из них проехал до места встречи половину всего расстояния:
$S = \frac{72}{2} = 36$ км.

Время, которое затратил первый велосипедист, чтобы проехать 36 км, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно:
$t_1 = \frac{36}{v_1}$ часов.

Время, которое затратил второй велосипедист, чтобы проехать свои 36 км, равно:
$t_2 = \frac{36}{v_2} = \frac{36}{v_1 + 2}$ часов.

Из условия известно, что второй велосипедист выехал на 15 минут позже первого. Переведем 15 минут в часы для согласования единиц измерения:
15 мин = $\frac{15}{60}$ часа = $\frac{1}{4}$ часа.
Это означает, что время первого велосипедиста в пути было на $\frac{1}{4}$ часа больше, чем время второго велосипедиста. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:
$\frac{36}{v_1} - \frac{36}{v_1 + 2} = \frac{1}{4}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(v_1 + 2)$:
$\frac{36(v_1 + 2) - 36v_1}{v_1(v_1 + 2)} = \frac{1}{4}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36v_1 + 72 - 36v_1}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{4}$
$\frac{72}{v_1^2 + 2v_1} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:
$v_1^2 + 2v_1 = 72 \times 4$
$v_1^2 + 2v_1 = 288$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v_1^2 + 2v_1 - 288 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Найдем корни уравнения по формуле $v_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_{1,1} = \frac{-2 + 34}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$
$v_{1,2} = \frac{-2 - 34}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{1,2} = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого велосипедиста $v_1 = 16$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = v_1 + 2 = 16 + 2 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 16 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.