Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

444. Не выполняя построения:

а) определите, пересекает ли парабола $y = x^2 - 8x + 16$ прямую $2x - 3y = 0$ и если да, то в каких точках;

б) найдите, в каких точках пересекаются окружность $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 65$ и прямая $3x - y + 6 = 0$.

а) Чтобы определить, пересекается ли парабола $y = x^2 - 8x + 16$ с прямой $2x - 3y = 0$, и найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x$

Подставим это выражение для $y$ в уравнение параболы:

$\frac{2}{3}x = x^2 - 8x + 16$

Умножим обе части уравнения на 3 и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x = 3(x^2 - 8x + 16)$

$2x = 3x^2 - 24x + 48$

$3x^2 - 26x + 48 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, чтобы определить количество решений:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 - 576 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем значения $x$ этих точек по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-26) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{26 \pm 10}{6}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{26 + 10}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{26 - 10}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x$:

При $x_1 = 6$: $y_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$. Первая точка пересечения: $(6, 4)$.

При $x_2 = \frac{8}{3}$: $y_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$. Вторая точка пересечения: $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

Ответ: Да, парабола и прямая пересекаются в точках $(6, 4)$ и $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

б) Чтобы найти точки пересечения окружности $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 65$ и прямой $3x - y + 6 = 0$, решим систему этих уравнений.

$ \begin{cases} (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 65 \\ 3x - y + 6 = 0 \end{cases} $

Из уравнения прямой выразим $y$ через $x$:

$y = 3x + 6$

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$(x - 5)^2 + ((3x + 6) - 4)^2 = 65$

$(x - 5)^2 + (3x + 2)^2 = 65$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x + 25) + (9x^2 + 12x + 4) = 65$

$10x^2 + 2x + 29 = 65$

$10x^2 + 2x - 36 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5x^2 + x - 18 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 1 + 360 = 361$

Так как $\sqrt{361} = 19$, найдем значения $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-1 \pm 19}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 19}{10}$

Получаем два значения для $x$:

$x_1 = \frac{-1 + 19}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$x_2 = \frac{-1 - 19}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 3x + 6$:

При $x_1 = \frac{9}{5}$: $y_1 = 3 \cdot \frac{9}{5} + 6 = \frac{27}{5} + \frac{30}{5} = \frac{57}{5}$. Первая точка пересечения: $(\frac{9}{5}, \frac{57}{5})$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = 0$. Вторая точка пересечения: $(-2, 0)$.

Ответ: Окружность и прямая пересекаются в точках $(\frac{9}{5}, \frac{57}{5})$ и $(-2, 0)$.

445. Докажите, что прямая $x - y = 4$ имеет одну общую точку с параболой $y=x^2 - 5x + 5$, и найдите координаты этой общей точки.

Чтобы определить количество общих точек прямой и параболы, необходимо приравнять их уравнения. Для этого составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 4 \\ y = x^2 - 5x + 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x - 4$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x - 4 = x^2 - 5x + 5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x - x + 5 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество решений этого квадратного уравнения соответствует количеству общих точек прямой и параболы. Чтобы найти количество решений, вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), это означает, что квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Следовательно, прямая и парабола имеют одну общую точку. Это доказывает первое утверждение задачи.

Теперь найдем координаты этой точки. Для этого решим уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$. Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Мы нашли абсциссу общей точки. Чтобы найти ординату, подставим значение $x=3$ в уравнение прямой $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, координаты общей точки — (3; -1).

Ответ: Уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$, полученное при решении системы, имеет один корень, так как его дискриминант равен нулю, что доказывает наличие только одной общей точки. Координаты этой общей точки: (3; -1).

446. Докажите, что парабола $y = 2x^2 - 5x + 1$ и прямая $2x + y + 3 = 0$ не пересекаются.

Для того чтобы доказать, что парабола и прямая не пересекаются, необходимо показать, что система уравнений, составленная из их уравнений, не имеет действительных решений. Точки пересечения — это общие точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям.

Дана система уравнений:
$y = 2x^2 - 5x + 1$ (уравнение параболы)
$2x + y + 3 = 0$ (уравнение прямой)

Для решения системы выразим переменную y из уравнения прямой:
$y = -2x - 3$

Теперь подставим это выражение для y в уравнение параболы:
$-2x - 3 = 2x^2 - 5x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 5x + 1 + 2x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3) = 0$
$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Наличие или отсутствие точек пересечения зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$

Поскольку дискриминант $D = -23$ является отрицательным числом ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения x, при котором y-координаты параболы и прямой совпали бы. Следовательно, у графиков нет общих точек.

Ответ: Парабола $y=2x^2-5x+1$ и прямая $2x+y+3=0$ не пересекаются, так как соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен), что и требовалось доказать.

447. Решите способом подстановки систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 12, \\ xy = -6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 12, \\ xy = -6. \end{cases} $
Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Так как произведение $xy \neq 0$, то ни $x$, ни $y$ не равны нулю. Выразим $y$ через $x$:
$y = -\frac{6}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (-\frac{6}{x})^2 = 12$
$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя (мы уже знаем, что $x \neq 0$):
$x^4 + 36 = 12x^2$
$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 12t + 36 = 0$
Это полный квадрат разности: $(t - 6)^2 = 0$.
Отсюда $t - 6 = 0$, следовательно, $t = 6$.

Вернемся к переменной $x$:
$x^2 = 6$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = -\frac{6}{x}$:
1. Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{6\sqrt{6}}{6} = -\sqrt{6}$.
2. Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\sqrt{6}, -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases} $
Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения. Так как $xy \neq 0$, то $x \neq 0$.
$y = \frac{20}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - (\frac{20}{x})^2 = 34$
$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (где $x \neq 0$):
$2x^4 - 400 = 34x^2$
$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 17t - 200 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 33}{2}$
Получаем два корня для $t$:
$t_1 = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как $t = x^2$, то $t$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $t_2 = -8$ не подходит. Остается $t_1 = 25$.

Вернемся к переменной $x$:
$x^2 = 25$
Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{20}{x}$:
1. Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.
2. Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$.

448. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

а) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy + x = 56, \\ xy + y = 54. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$), поэтому при сложении они взаимно уничтожатся.

$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x = \pm 4$.

Теперь подставим найденное значение $x^2 = 16$ во второе уравнение системы: $x^2 + 2y^2 = 18$.

$16 + 2y^2 = 18$

$2y^2 = 18 - 16$

$2y^2 = 2$

$y^2 = 1$

Отсюда находим возможные значения для $y$: $y = \pm 1$.

Таким образом, мы имеем четыре пары решений, комбинируя значения $x$ и $y$. Для каждого из двух значений $x$ ($4$ и $-4$) существуют два значения $y$ ($1$ и $-1$).

Решения системы: $(4, 1)$, $(4, -1)$, $(-4, 1)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11$

$2x^2 = 72$

$x^2 = 36$

Отсюда $x = \pm 6$.

Теперь подставим значение $x^2 = 36$ в первое уравнение системы: $x^2 + y^2 = 61$.

$36 + y^2 = 61$

$y^2 = 61 - 36$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = \pm 5$.

Комбинируя полученные значения, находим четыре пары решений:

$(6, 5)$, $(6, -5)$, $(-6, 5)$ и $(-6, -5)$.

Ответ: $(6, 5), (6, -5), (-6, 5), (-6, -5)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого. Этот прием является частью метода сложения (сложение с уравнением, умноженным на $-1$).

$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$

$x - y = 2$

Выразим $x$ через $y$: $x = y + 2$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение исходной системы $xy + y = 54$.

$(y + 2)y + y = 54$

$y^2 + 2y + y = 54$

$y^2 + 3y - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-54$, а сумма равна $-3$. Эти числа — $6$ и $-9$.

Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 6$ и $y_2 = -9$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 2$.

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$. Получаем решение $(8, 6)$.

2. Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$. Получаем решение $(-7, -9)$.

Ответ: $(8, 6), (-7, -9)$.

449. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

а) окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$;

б) окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$;

в) окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$.

а)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 36$ и параболы $y = x^2 + 6$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ y = x^2 + 6 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = y - 6$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y - 6) + y^2 = 36$

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

$y_1 = \frac{-1 - 13}{2} = -7$

$y_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$.

1. Если $y = -7$, то $x^2 = -7 - 6 = -13$. У этого уравнения нет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

2. Если $y = 6$, то $x^2 = 6 - 6 = 0$, откуда $x = 0$.

Таким образом, существует только одна точка пересечения.

Ответ: $(0, 6)$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения двух окружностей $x^2 + y^2 = 16$ и $(x - 2)^2 + y^2 = 36$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 16 - x^2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 4x + 4 + 16 - x^2 = 36$

$-4x + 20 = 36$

$-4x = 16$

$x = -4$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -4$ в первое уравнение:

$(-4)^2 + y^2 = 16$

$16 + y^2 = 16$

$y^2 = 0$

$y = 0$

Таким образом, окружности пересекаются в одной точке (касаются).

Ответ: $(-4, 0)$.

в)

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 25$ и прямой $4x - y = 0$, решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 4x - y = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (4x)^2 = 25$

$x^2 + 16x^2 = 25$

$17x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{17}$

Отсюда находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{\frac{25}{17}} = \frac{5}{\sqrt{17}} = \frac{5\sqrt{17}}{17}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{25}{17}} = -\frac{5}{\sqrt{17}} = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, используя $y = 4x$.

1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{17}}{17}$, то $y_1 = 4 \cdot \frac{5\sqrt{17}}{17} = \frac{20\sqrt{17}}{17}$.

2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{17}}{17}$, то $y_2 = 4 \cdot \left(-\frac{5\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{20\sqrt{17}}{17}$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(\frac{5\sqrt{17}}{17}, \frac{20\sqrt{17}}{17})$ и $(-\frac{5\sqrt{17}}{17}, -\frac{20\sqrt{17}}{17})$.

450. При каких значениях $k$ парабола $y = x^2 + 1$ и прямая $y=kx$ имеют только одну общую точку?

Чтобы найти общие точки параболы $y = x^2 + 1$ и прямой $y = kx$, необходимо найти решения системы уравнений, состоящей из уравнений этих двух графиков. Общая точка — это точка, координаты которой $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Приравняем правые части уравнений, так как в обеих левая часть равна $y$:

$x^2 + 1 = kx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - kx + 1 = 0$

Парабола и прямая будут иметь только одну общую точку в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения $x^2 - kx + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:

$k^2 - 4 = 0$

$k^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $k$:

$k_1 = \sqrt{4} = 2$

$k_2 = -\sqrt{4} = -2$

Таким образом, при значениях $k = 2$ и $k = -2$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $k = -2; 2$.

451. Окружность $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$ и прямая $y = kx$ имеют общую точку $M(1; 2)$. Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.

Даны уравнение окружности $(x-4)^2 + (y-6)^2 = 25$ и уравнение прямой $y=kx$. Известно, что они имеют общую точку $M(1; 2)$.

Сначала найдем значение коэффициента $k$. Поскольку точка $M(1; 2)$ принадлежит прямой $y=kx$, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение:
$2 = k \cdot 1$
Отсюда получаем $k=2$. Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y=2x$.

Теперь найдем координаты всех точек пересечения окружности и прямой, решив систему уравнений. Для этого подставим выражение $y=2x$ в уравнение окружности:
$(x-4)^2 + (2x-6)^2 = 25$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 8x + 16) + (4x^2 - 24x + 36) = 25$
$5x^2 - 32x + 52 = 25$
$5x^2 - 32x + 27 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения. Нам уже известно, что одна из точек пересечения имеет абсциссу $x_1=1$ (из координат точки $M$). Чтобы найти вторую абсциссу $x_2$, воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В нашем случае $a=5, c=27$:
$1 \cdot x_2 = \frac{27}{5}$
$x_2 = \frac{27}{5}$

Теперь найдем ординату второй точки пересечения, подставив $x_2$ в уравнение прямой $y=2x$:
$y_2 = 2 \cdot \frac{27}{5} = \frac{54}{5}$

Следовательно, координаты другой общей точки: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$.

Ответ: $(\frac{27}{5}; \frac{54}{5})$

452. Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

a) $$\begin{cases} y = x^3, \\ y = 15x; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} xy = 10, \\ y = x; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y = x^2 + 3. \end{cases}$$

а) Чтобы определить количество решений системы, построим графики уравнений $y = x^3$ и $y = 15x$ и найдем количество точек их пересечения.
1. График уравнения $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно начала координат.
2. График уравнения $y = 15x$ — это прямая, также проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом 15.
Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений:
$x^3 = 15x$
$x^3 - 15x = 0$
$x(x^2 - 15) = 0$
Это уравнение имеет три корня:
$x_1 = 0$
$x^2 = 15$, откуда $x_2 = \sqrt{15}$ и $x_3 = -\sqrt{15}$.
Так как мы получили три различных значения $x$, графики пересекаются в трех точках. Следовательно, система имеет три решения.
Ответ: 3 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений $xy = 10$ и $y = x$.
1. График уравнения $xy = 10$, или $y = \frac{10}{x}$, — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
2. График уравнения $y = x$ — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат.
Прямая $y = x$ проходит через те же квадранты, что и ветви гиперболы, поэтому она пересечет каждую ветвь по одному разу. Чтобы убедиться в этом, решим систему аналитически. Подставим $y = x$ в первое уравнение:
$x \cdot x = 10$
$x^2 = 10$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{10}$ и $x_2 = -\sqrt{10}$.
Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 решения.

в) Рассмотрим систему уравнений $x^2 + y^2 = 36$ и $y = x^2 + 3$.
1. График уравнения $x^2 + y^2 = 36$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{36} = 6$.
2. График уравнения $y = x^2 + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 3)$.
Вершина параболы $(0, 3)$ находится внутри окружности, так как расстояние от вершины до центра окружности (3) меньше радиуса (6). Поскольку ветви параболы направлены вверх, они будут пересекать окружность. Найдем точки пересечения, решив систему.
Из второго уравнения выразим $x^2 = y - 3$ и подставим в первое уравнение:
$(y - 3) + y^2 = 36$
$y^2 + y - 39 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 1 + 156 = 157$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня для $y$: $y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{157}}{2}$.
Из уравнения параболы $y = x^2 + 3$ следует, что $y \ge 3$ (поскольку $x^2 \ge 0$).
Проверим найденные корни:
1) $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{157}}{2}$. Так как $12 < \sqrt{157} < 13$, то $y_1 \approx \frac{-1 + 12.5}{2} = 5.75$. Это значение больше 3, значит, оно допустимо. Для этого значения $y$ мы получим два значения $x$ ($x = \pm\sqrt{y_1-3}$).
2) $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{157}}{2}$. Это значение отрицательное, следовательно, меньше 3. Оно не удовлетворяет условию $y \ge 3$, поэтому является посторонним корнем.
Таким образом, существует только одно подходящее значение $y$, которое дает две точки пересечения (симметричные относительно оси OY).
Ответ: 2 решения.

453. Решите неравенство:

a) $0.2x(x - 1) - x(0.2x + 0.5) < 0.6x - 4;$

б) $1.2x(3 - x) + 0.4x(3x - 1) < x + 1.1.$

а) $0,2x(x - 1) - x(0,2x + 0,5) < 0,6x - 4$
Для решения данного неравенства сначала раскроем скобки в левой части:
$0,2x \cdot x - 0,2x \cdot 1 - x \cdot 0,2x - x \cdot 0,5 < 0,6x - 4$
$0,2x^2 - 0,2x - 0,2x^2 - 0,5x < 0,6x - 4$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части неравенства. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются.
$(0,2x^2 - 0,2x^2) + (-0,2x - 0,5x) < 0,6x - 4$
$-0,7x < 0,6x - 4$
Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть:
$-0,7x - 0,6x < -4$
$-1,3x < -4$
Разделим обе части неравенства на $-1,3$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $<$ на $>$):
$x > \frac{-4}{-1,3}$
$x > \frac{4}{1,3}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x > \frac{40}{13}$
Решение неравенства в виде интервала: $(\frac{40}{13}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{40}{13}; +\infty)$

б) $1,2x(3 - x) + 0,4x(3x - 1) < x + 1,1$
Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$1,2x \cdot 3 - 1,2x \cdot x + 0,4x \cdot 3x - 0,4x \cdot 1 < x + 1,1$
$3,6x - 1,2x^2 + 1,2x^2 - 0,4x < x + 1,1$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются:
$(-1,2x^2 + 1,2x^2) + (3,6x - 0,4x) < x + 1,1$
$3,2x < x + 1,1$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть неравенства:
$3,2x - x < 1,1$
$2,2x < 1,1$
Разделим обе части неравенства на 2,2 (положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):
$x < \frac{1,1}{2,2}$
Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 10:
$x < \frac{11}{22}$
$x < \frac{1}{2}$
Решение также можно записать в виде десятичной дроби $x < 0,5$ или в виде интервала $(-\infty; 0,5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$