Страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

477. К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это начальная масса воды в растворе в граммах.

Масса соли в растворе по условию составляет 50 г.
Тогда начальная масса всего раствора равна $(50 + x)$ г.
Начальная концентрация соли ($C_1$) в растворе вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора:
$C_1 = \frac{50}{50 + x}$

После добавления 150 г воды масса воды в растворе стала $(x + 150)$ г, а общая масса нового раствора стала $(50 + x + 150) = (x + 200)$ г.
Новая концентрация соли ($C_2$) стала равна:
$C_2 = \frac{50}{x + 200}$

По условию, концентрация уменьшилась на 7,5%, что в долях составляет 0,075. Составим уравнение, отражающее это изменение:
$C_1 - C_2 = 0,075$
$\frac{50}{50 + x} - \frac{50}{x + 200} = 0,075$

Решим полученное уравнение. Сначала вынесем общий множитель 50 за скобки в левой части:
$50 \left( \frac{1}{50 + x} - \frac{1}{x + 200} \right) = 0,075$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(50 + x)(x + 200)$:
$50 \left( \frac{(x + 200) - (50 + x)}{(50 + x)(x + 200)} \right) = 0,075$

Упростим выражение в числителе:
$50 \left( \frac{150}{(50 + x)(x + 200)} \right) = 0,075$
$\frac{7500}{(50 + x)(x + 200)} = 0,075$

Теперь выразим знаменатель:
$(50 + x)(x + 200) = \frac{7500}{0,075}$
$(50 + x)(x + 200) = 100000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$50x + 10000 + x^2 + 200x = 100000$
$x^2 + 250x - 90000 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 250^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90000) = 62500 + 360000 = 422500$
$\sqrt{D} = \sqrt{422500} = 650$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-250 + 650}{2} = \frac{400}{2} = 200$
$x_2 = \frac{-250 - 650}{2} = \frac{-900}{2} = -450$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x = 200$.

Сколько воды содержал раствор

Начальное количество воды в растворе равно $x$.
Ответ: 200 г.

какова была его концентрация

Начальная концентрация ($C_1$) вычисляется подстановкой найденного значения $x=200$ в формулу для $C_1$ и выражается в процентах:
$C_1 = \frac{50}{50 + 200} \cdot 100\% = \frac{50}{250} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$
Ответ: 20%.

478. В каких координатных четвертях нет ни одной точки графика функции:

а) $y = -3,5x^2 - 2,6;$

б) $y = x^2 - 12x + 34?$

а)

Рассмотрим функцию $y = -3,5x^2 - 2,6$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициент $a = -3,5$ является отрицательным, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-3,5)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = -3,5 \cdot 0^2 - 2,6 = -2,6$.
Вершина параболы находится в точке $(0; -2,6)$. Эта точка лежит на отрицательной части оси Oy.
Так как вершина параболы является её наивысшей точкой (ветви направлены вниз), то максимальное значение функции равно $-2,6$. Это означает, что для любой точки графика $(x, y)$ выполняется неравенство $y \le -2,6$.
Вспомним знаки координат в четвертях:
I четверть: $x > 0, y > 0$
II четверть: $x < 0, y > 0$
III четверть: $x < 0, y < 0$
IV четверть: $x > 0, y < 0$
Поскольку для всех точек графика координата $y$ отрицательна, график не может содержать точек с положительной координатой $y$. Квадранты, где $y > 0$, — это I и II. Следовательно, в I и II координатных четвертях нет ни одной точки графика данной функции.

Ответ: в I и II четвертях.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 12x + 34$.
Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = 1$ является положительным, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Ордината вершины: $y_0 = 6^2 - 12 \cdot 6 + 34 = 36 - 72 + 34 = -2$.
Вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Эта точка расположена в IV четверти, так как её абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$).
Так как ветви параболы направлены вверх, вершина является самой низкой точкой графика, и минимальное значение функции равно $-2$.
Проанализируем расположение графика по четвертям:
- График имеет точку $(6; -2)$ в IV четверти.
- Поскольку ветви направлены вверх от точки в IV четверти, парабола будет подниматься и пересекать ось Ox. При $x > 6$ значения $y$ будут расти, переходя из отрицательных в положительные. Следовательно, часть графика находится в I четверти.
- Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x = 0$: $y = 0^2 - 12 \cdot 0 + 34 = 34$. Точка $(0; 34)$ лежит на положительной части оси Oy. Так как левая ветвь параболы проходит через эту точку, а при $x < 0$ значения $y$ продолжают увеличиваться, то часть графика находится во II четверти (где $x < 0, y > 0$).
- Проверим III четверть (где $x < 0, y < 0$). Как мы выяснили, при $x=0$ значение $y=34$, а при $x < 0$ парабола идёт вверх, то есть значения $y$ будут больше 34. Минимальное значение функции $y=-2$ достигается при $x=6$. Таким образом, при $x < 0$ значение $y$ всегда будет положительным. Следовательно, в III четверти нет ни одной точки графика.
Итак, график функции проходит через I, II и IV четверти.

Ответ: в III четверти.

479. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y + 3x = 2, \\ x^2 - xy = 3.36. \end{cases} $

Решим данную систему уравнений методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -3x - 4$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (-3x - 4)^2 = 2$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение. Обратим внимание, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$.

$x^2 - (3x + 4)^2 = 2$

$x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2$

$x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2$

$-8x^2 - 24x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на $-2$ для упрощения:

$4x^2 + 12x + 9 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 0$

$(2x + 3)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = -3x - 4$:

$y = -3(-1.5) - 4 = 4.5 - 4 = 0.5$

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(-1.5; 0.5)$.

Ответ: $(-1.5; 0.5)$.

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2 - 3x$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - x(2 - 3x) = 3.36$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x + 3x^2 = 3.36$

$4x^2 - 2x - 3.36 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 100:

$400x^2 - 200x - 336 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 8:

$50x^2 - 25x - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-42) = 625 + 8400 = 9025$

Так как $\sqrt{9025} = 95$, находим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{25 \pm 95}{2 \cdot 50} = \frac{25 \pm 95}{100}$

$x_1 = \frac{25 + 95}{100} = \frac{120}{100} = 1.2$

$x_2 = \frac{25 - 95}{100} = \frac{-70}{100} = -0.7$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2 - 3x$.

1) При $x_1 = 1.2$:

$y_1 = 2 - 3 \cdot 1.2 = 2 - 3.6 = -1.6$

Первое решение: $(1.2; -1.6)$.

2) При $x_2 = -0.7$:

$y_2 = 2 - 3 \cdot (-0.7) = 2 + 2.1 = 4.1$

Второе решение: $(-0.7; 4.1)$.

Ответ: $(1.2; -1.6)$, $(-0.7; 4.1)$.

480. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

а) параболы $y = x^2 - 3x + 3$ и прямой $2x - y - 1 = 0$;

б) окружности $x^2 + y^2 = 100$ и прямой $x + y = 14$.

а) Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = x^2 - 3x + 3$ и прямой $2x - y - 1 = 0$, необходимо решить систему этих уравнений.

$\begin{cases} y = x^2 - 3x + 3 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 2x - 1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$2x - 1 = x^2 - 3x + 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 2x + 3 + 1 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = 2x - 1$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

При $x_2 = 4$: $y_2 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.

Таким образом, координаты точек пересечения: $(1, 1)$ и $(4, 7)$.

Ответ: $(1, 1), (4, 7)$.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 100$ и прямой $x + y = 14$, необходимо решить систему этих уравнений.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x + y = 14 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 14 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (14 - x)^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 100$

$2x^2 - 28x + 196 - 100 = 0$

$2x^2 - 28x + 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 14x + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 6, \quad x_2 = 8$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = 14 - x$:

При $x_1 = 6$: $y_1 = 14 - 6 = 8$.

При $x_2 = 8$: $y_2 = 14 - 8 = 6$.

Таким образом, координаты точек пересечения: $(6, 8)$ и $(8, 6)$.

Ответ: $(6, 8), (8, 6)$.

481. Решите неравенство:

а) $x^2 - 6x < 0;$ б) $8x + x^2 \ge 0;$ в) $x^2 \le 4;$ г) $x^2 > 6.$

а) Решим неравенство $x^2 - 6x < 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 6) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 6)$ и $(6, +\infty)$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 6x < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(0, 6)$.
Ответ: $x \in (0, 6)$.

б) Решим неравенство $8x + x^2 \ge 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 8x \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$:
$x(x + 8) = 0$
Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.
Графиком функции $y = x^2 + 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 + 8x \ge 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня ($-8$) и правее большего корня ($0$), включая сами корни, так как неравенство нестрогое.
Таким образом, решение - это объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [0, +\infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 \le 4$.
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$. Это разность квадратов:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 4 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси абсцисс или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Альтернативный способ: неравенство $x^2 \le 4$ равносильно $|x| \le \sqrt{4}$, то есть $|x| \le 2$. Это означает, что $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2, 2]$.

г) Решим неравенство $x^2 > 6$.
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$:
$x^2 = 6$
Корнями являются $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.
Графиком функции $y = x^2 - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 6 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Альтернативный способ: неравенство $x^2 > 6$ равносильно $|x| > \sqrt{6}$. Это распадается на два неравенства: $x > \sqrt{6}$ или $x < -\sqrt{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$.

1. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, представляет собой равенство, которое связывает эти две переменные. В общем виде его можно записать как $F(x, y) = 0$. В отличие от уравнения с одной переменной, его решением является не одно число, а пара чисел.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство. Если переменные в уравнении — это $x$ и $y$, то решение принято записывать в виде $(x_0; y_0)$, где $x_0$ — значение переменной $x$, а $y_0$ — значение переменной $y$.

Пример:

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными: $2x + y = 5$.

• Проверим, является ли пара чисел $(1; 3)$ решением. Для этого подставим $x=1$ и $y=3$ в уравнение:
  $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
  Мы получили $5 = 5$. Это верное числовое равенство, следовательно, пара $(1; 3)$ является решением данного уравнения.
• Теперь проверим пару $(4; -1)$. Подставим $x=4$ и $y=-1$ в уравнение:
  $2 \cdot 4 + (-1) = 8 - 1 = 7$.
  Мы получили $7 = 5$. Это неверное равенство, значит, пара $(4; -1)$ не является решением этого уравнения.

Важно понимать, что, как правило, уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Совокупность всех пар чисел, являющихся решениями, образует график этого уравнения на координатной плоскости. Для уравнения $2x + y = 5$ таким графиком будет прямая линия.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

Графиком уравнения с двумя переменными, например x и y, называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Чтобы понять это определение, разберем его по частям:

• Уравнение с двумя переменными — это равенство, которое содержит две переменные. Его общий вид можно записать как $F(x, y) = 0$. Примерами могут служить уравнения $y = 3x - 5$, $x^2 + y^2 = 9$ или $y = x^2$.
• Решение уравнения с двумя переменными — это такая пара значений переменных (например, $(x_0, y_0)$), при подстановке которой в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Например, для уравнения $y = x + 2$ пара чисел $(1, 3)$ является решением, потому что $3 = 1 + 2$ — это правда. А пара $(1, 4)$ решением не является, так как $4 = 1 + 2$ — это ложь.
• Координатная плоскость — это плоскость с системой координат (обычно прямоугольной декартовой), где каждой паре чисел $(x, y)$ соответствует одна уникальная точка.

Таким образом, график уравнения — это геометрическое изображение всех его решений. Каждая пара чисел $(x, y)$, которая является решением уравнения, представляет собой координаты точки, принадлежащей этому графику. Соединив все такие точки, мы получаем некоторую линию или фигуру, которая и называется графиком данного уравнения.

Примеры:

• Графиком линейного уравнения вида $ax + by = c$ является прямая линия. Например, график уравнения $y = 2x + 1$ — это прямая, на которой лежат все точки, чьи координаты удовлетворяют этому равенству, например, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -1)$ и бесконечное множество других.
• Графиком уравнения $x^2 + y^2 = r^2$ является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$. Например, для уравнения $x^2 + y^2 = 25$, его график — это окружность с радиусом 5. Любая точка на этой окружности, например $(3, 4)$, $(0, 5)$ или $(-4, 3)$, будет решением уравнения.

Ответ: Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых (пары чисел $x$ и $y$) являются решениями этого уравнения.

3 Объясните на примере, как решают систему двух уравнений с двумя переменными, составленную из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

Для решения системы, состоящей из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени, как правило, используют метод подстановки. Алгоритм решения заключается в следующем:

1. Из линейного уравнения (первой степени) выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в нелинейное уравнение (второй степени), в результате чего получают уравнение с одной переменной.
3. Решают полученное уравнение относительно этой переменной.
4. Находят соответствующие значения второй переменной, подставляя найденные корни в выражение из первого шага.
5. Записывают ответ в виде пар значений переменных.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y - 2x = 1, \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $

Шаг 1. Выражение одной переменной через другую.

Из первого, линейного, уравнения $y - 2x = 1$ удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$:

$y = 2x + 1$

Шаг 2. Подстановка.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $x^2 - xy + y^2 = 7$:

$x^2 - x(2x + 1) + (2x + 1)^2 = 7$

Шаг 3. Решение полученного уравнения.

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Решим его. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x^2 - x + (4x^2 + 4x + 1) = 7$

$x^2 - 2x^2 - x + 4x^2 + 4x + 1 = 7$

$(1 - 2 + 4)x^2 + (-1 + 4)x + 1 - 7 = 0$

$3x^2 + 3x - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 3:

$x^2 + x - 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Шаг 4. Нахождение второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя выражение из первого шага $y = 2x + 1$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары чисел, которые являются решениями исходной системы.

Ответ: $(1; 3)$, $(-2; -3)$.