Номер 3, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Объясните на примере, как решают систему двух уравнений с двумя переменными, составленную из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

Для решения системы, состоящей из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени, как правило, используют метод подстановки. Алгоритм решения заключается в следующем:

1. Из линейного уравнения (первой степени) выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в нелинейное уравнение (второй степени), в результате чего получают уравнение с одной переменной.
3. Решают полученное уравнение относительно этой переменной.
4. Находят соответствующие значения второй переменной, подставляя найденные корни в выражение из первого шага.
5. Записывают ответ в виде пар значений переменных.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y - 2x = 1, \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $

Шаг 1. Выражение одной переменной через другую.

Из первого, линейного, уравнения $y - 2x = 1$ удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$:

$y = 2x + 1$

Шаг 2. Подстановка.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы $x^2 - xy + y^2 = 7$:

$x^2 - x(2x + 1) + (2x + 1)^2 = 7$

Шаг 3. Решение полученного уравнения.

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Решим его. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x^2 - x + (4x^2 + 4x + 1) = 7$

$x^2 - 2x^2 - x + 4x^2 + 4x + 1 = 7$

$(1 - 2 + 4)x^2 + (-1 + 4)x + 1 - 7 = 0$

$3x^2 + 3x - 6 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 3:

$x^2 + x - 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Шаг 4. Нахождение второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя выражение из первого шага $y = 2x + 1$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары чисел, которые являются решениями исходной системы.

Ответ: $(1; 3)$, $(-2; -3)$.