Номер 487, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неравенства с двумя переменными. § 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 487, страница 129.

487. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \le x^2 - 4;$

б) $y \ge (x - 2)^2 - 1;$

в) $x^2 + y^2 \le 25;$

г) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4.$

а) Для того чтобы изобразить множество решений неравенства $y \le x^2 - 4$, сначала построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), граница (сама парабола) включается в множество решений и изображается сплошной линией. Неравенство $y \le x^2 - 4$ означает, что искомые точки должны лежать на параболе или ниже нее. Для проверки выберем контрольную точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $0 \le 0^2 - 4$, что дает $0 \le -4$. Это неверно, следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Решением является область, расположенная ниже параболы, включая саму параболу.

Ответ: Множество решений — это все точки на параболе $y = x^2 - 4$ и в области под ней.

б) Рассмотрим неравенство $y \ge (x-2)^2 - 1$. Сначала построим график функции $y = (x-2)^2 - 1$. Это парабола, полученная из параболы $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Найдем точки пересечения с осью Ox: $(x-2)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 1 \Rightarrow x-2 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$. Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y=(0-2)^2-1 = 3$. Точка $(0, 3)$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница (парабола) рисуется сплошной линией и входит в множество решений. Неравенство $y \ge (x-2)^2 - 1$ означает, что искомые точки должны лежать на параболе или выше нее. Возьмем контрольную точку $(2, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \ge (2-2)^2 - 1 \Rightarrow 0 \ge -1$. Это верно. Значит, область, содержащая точку $(2, 0)$ (то есть область "внутри" параболы), является решением.

Ответ: Множество решений — это все точки на параболе $y = (x-2)^2 - 1$ и в области над ней.

в) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 \le 25$. Границей множества является уравнение $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), сама окружность включается в множество решений и изображается сплошной линией. Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ означает, что расстояние от любой точки множества до центра окружности $(0, 0)$ не должно превышать радиус 5. Следовательно, решением является круг, ограниченный данной окружностью, включая саму окружность. Проверим это с помощью контрольной точки $(0, 0)$: $0^2 + 0^2 \le 25 \Rightarrow 0 \le 25$. Это верно, значит, область внутри окружности является решением.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 5, включая его границу (окружность).

г) Рассмотрим неравенство $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4$. Границей множества является уравнение $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Это уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Центр окружности находится в точке $(a, b) = (1, 2)$, а ее радиус $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница (окружность) является частью решения и рисуется сплошной линией. Неравенство $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4$ описывает все точки, расстояние от которых до центра $(1, 2)$ не превышает радиус 2. Это означает, что решением является круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2. Проверим с помощью центра окружности, точки $(1, 2)$: $(1-1)^2 + (2-2)^2 \le 4 \Rightarrow 0 \le 4$. Это верно.

Ответ: Множество решений — это круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 2, включая его границу (окружность).