Номер 484, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

484. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) $y \ge x$;

б) $y \le x - 1$;

в) $y > \frac{1}{2}x - 1$;

г) $y < \frac{1}{3}x - 3$.

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, задаваемое линейным неравенством, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившейся линейной функции (прямой). Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.
2. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то прямую следует рисовать пунктирной линией. Это означает, что точки на самой прямой не входят в решение.
3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то прямую следует рисовать сплошной линией. Это означает, что точки на прямой также являются частью решения.
4. Выбрать любую "пробную" точку, не лежащую на прямой (часто удобно использовать начало координат $(0, 0)$), и подставить ее координаты в исходное неравенство.
5. Если неравенство выполняется, то искомым множеством является та полуплоскость, в которой лежит пробная точка. Если неравенство не выполняется, то решением является другая полуплоскость.

Рассмотрим неравенство $y \ge x$.

1. Построим граничную прямую $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

2. Так как знак неравенства нестрогий ($\ge$), прямая будет сплошной.

3. Выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 1)$. Подставим её координаты в неравенство: $1 \ge 0$. Это верное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0, 1)$, то есть область над прямой $y = x$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge x$, — это все точки, расположенные на прямой $y=x$ и выше нее.

Рассмотрим неравенство $y \le x - 1$.

1. Построим граничную прямую $y = x - 1$. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=1$, то $y=0$ (точка $(1, 0)$).

2. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому прямая будет сплошной.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \le 0 - 1$, или $0 \le -1$. Это неверное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = x - 1$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \le x - 1$, — это все точки, расположенные на прямой $y = x - 1$ и ниже нее.

Рассмотрим неравенство $y > \frac{1}{2}x - 1$.

1. Построим граничную прямую $y = \frac{1}{2}x - 1$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$); если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$).

2. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому прямую изображаем пунктирной линией.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 > \frac{1}{2}(0) - 1$, или $0 > -1$. Это верное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0, 0)$, то есть область над прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > \frac{1}{2}x - 1$, — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$ (сама прямая не включается в множество).

Рассмотрим неравенство $y < \frac{1}{3}x - 3$.

1. Построим граничную прямую $y = \frac{1}{3}x - 3$. Найдем две точки: если $x=0$, то $y=-3$ (точка $(0, -3)$); если $x=3$, то $y=-2$ (точка $(3, -2)$). Также можно взять точку пересечения с осью Ox: если $y=0$, то $x=9$ (точка $(9,0)$).

2. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому прямую изображаем пунктирной линией.

3. Выберем пробную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 < \frac{1}{3}(0) - 3$, или $0 < -3$. Это неверное утверждение. Следовательно, заштриховываем полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$, то есть область под прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < \frac{1}{3}x - 3$, — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$ (сама прямая не включается в множество).