Номер 481, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

481. Решите неравенство:

а) $x^2 - 6x < 0;$ б) $8x + x^2 \ge 0;$ в) $x^2 \le 4;$ г) $x^2 > 6.$

а) Решим неравенство $x^2 - 6x < 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 6) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 6)$ и $(6, +\infty)$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 6x < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(0, 6)$.
Ответ: $x \in (0, 6)$.

б) Решим неравенство $8x + x^2 \ge 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде: $x^2 + 8x \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x = 0$:
$x(x + 8) = 0$
Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.
Графиком функции $y = x^2 + 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 + 8x \ge 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня ($-8$) и правее большего корня ($0$), включая сами корни, так как неравенство нестрогое.
Таким образом, решение - это объединение двух промежутков.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [0, +\infty)$.

в) Решим неравенство $x^2 \le 4$.
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$. Это разность квадратов:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 4 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси абсцисс или ниже нее. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Альтернативный способ: неравенство $x^2 \le 4$ равносильно $|x| \le \sqrt{4}$, то есть $|x| \le 2$. Это означает, что $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2, 2]$.

г) Решим неравенство $x^2 > 6$.
Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6 = 0$:
$x^2 = 6$
Корнями являются $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{6}$.
Графиком функции $y = x^2 - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 6 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Альтернативный способ: неравенство $x^2 > 6$ равносильно $|x| > \sqrt{6}$. Это распадается на два неравенства: $x > \sqrt{6}$ или $x < -\sqrt{6}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$.