Номер 474, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

474. Из населённых пунктов $M$ и $N$, удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт $M$ на 25 мин раньше, чем другой — в пункт $N$.

Пусть $S$ — расстояние между населёнными пунктами M и N, $v_1$ — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта M, а $v_2$ — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта N. Единицы измерения скорости — км/ч, времени — часы.

По условию задачи дано:

• Расстояние $S = 50$ км.
• Время до встречи $t_{встр} = 30$ мин $= \frac{30}{60}$ ч $= 0.5$ ч.
• Разница во времени прибытия $\Delta t = 25$ мин $= \frac{25}{60}$ ч $= \frac{5}{12}$ ч.

Когда мотоциклисты едут навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. До момента встречи они вместе проезжают всё расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$50 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$

Выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{50}{0.5} = 100$

Теперь рассмотрим второе условие. Время, которое первый мотоциклист (из M в N) затратил на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$.

Время, которое второй мотоциклист (из N в M) затратил на весь путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$.

В условии сказано, что мотоциклист, прибывший в пункт M (это второй мотоциклист), сделал это на 25 минут раньше, чем другой прибыл в пункт N. Это означает, что время второго мотоциклиста в пути меньше времени первого: $t_2 < t_1$.

Составим второе уравнение на основе разницы во времени:

$t_1 - t_2 = \Delta t$

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{v_2} = \frac{5}{12}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 100 \\ \frac{50}{v_1} - \frac{50}{v_2} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{100 - v_1} = \frac{5}{12}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{100 - v_1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{10(100 - v_1) - 10v_1}{v_1(100 - v_1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{1000 - 10v_1 - 10v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{1000 - 20v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим квадратное уравнение:

$12 \cdot (1000 - 20v_1) = 1 \cdot (100v_1 - v_1^2)$

$12000 - 240v_1 = 100v_1 - v_1^2$

$v_1^2 - 240v_1 - 100v_1 + 12000 = 0$

$v_1^2 - 340v_1 + 12000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-340)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12000 = 115600 - 48000 = 67600$

$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$

Находим возможные значения для $v_1$:

$v_{1,1} = \frac{340 + 260}{2} = \frac{600}{2} = 300$

$v_{1,2} = \frac{340 - 260}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня:

1. Если $v_1 = 300$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 300 = -200$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.
2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 100 - v_1 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Оба значения скорости положительны и являются решением.

Таким образом, скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта M, составляет 40 км/ч, а скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта N, — 60 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.