Номер 469, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

469. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Примем весь объём земляных работ за 1 (единицу).

Пусть время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может выполнить всю работу, составляет $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет тот же объём работ на 4 часа дольше, то есть за $(x + 4)$ часа. Его производительность равна $P_2 = \frac{1}{x+4}$.

Работая вместе, два экскаватора выполняют работу за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч } = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа.

Совместная производительность двух экскаваторов — это сумма их индивидуальных производительностей: $P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

Объём работы равен произведению совместной производительности на время совместной работы. Используя эту зависимость, составим уравнение: $1 = P_{\text{общ}} \times t_{\text{общ}}$
$1 = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} \right) \cdot \frac{15}{4}$

Теперь решим полученное уравнение. Разделим обе части на $\frac{15}{4}$: $\frac{4}{15} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю: $\frac{4}{15} = \frac{(x+4) + x}{x(x+4)}$
$\frac{4}{15} = \frac{2x+4}{x^2+4x}$

Используя правило пропорции (перекрёстное умножение), получим: $4(x^2+4x) = 15(2x+4)$
$4x^2 + 16x = 30x + 60$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $2x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи. Значит, время выполнения работы первым, более быстрым, экскаватором составляет 6 часов.

Время выполнения работы вторым экскаватором: $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору для выполнения всего объёма земляных работ требуется 6 часов, а другому — 10 часов.