Номер 464, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

464. Площадь прямоугольного треугольника равна $24 \text{ см}^2$, а его гипотенуза равна $10 \text{ см}$. Каковы катеты треугольника?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$.

Согласно условию задачи, нам даны:

Площадь $S = 24$ см$^2$.

Гипотенуза $c = 10$ см.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для прямоугольного треугольника:

1. Формула площади прямоугольного треугольника через катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

2. Теорема Пифагора, связывающая катеты и гипотенузу:

$a^2 + b^2 = c^2$

Составим систему уравнений на основе этих формул и известных данных:

$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 24 \\ a^2 + b^2 = 10^2 \end{cases}$

Упростим эту систему:

$\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать следующий метод. Умножим первое уравнение на 2:

$2ab = 96$

Теперь рассмотрим формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2ab$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2+b^2) - 2ab$

Подставим известные значения $a^2+b^2 = 100$ и $2ab = 96$ в эти выражения:

$(a+b)^2 = 100 + 96 = 196$

$(a-b)^2 = 100 - 96 = 4$

Извлечем квадратные корни. Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон, они положительны, поэтому их сумма также положительна.

$a+b = \sqrt{196} = 14$

$a-b = \pm\sqrt{4} = \pm2$

Теперь у нас есть две системы линейных уравнений. Решим каждую из них.

Случай 1:

$\begin{cases} a+b = 14 \\ a-b = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(a+b)+(a-b) = 14+2$, что дает $2a = 16$, откуда $a = 8$.

Подставим значение $a=8$ в первое уравнение: $8+b=14$, откуда $b=6$.

В этом случае катеты равны 8 см и 6 см.

Случай 2:

$\begin{cases} a+b = 14 \\ a-b = -2 \end{cases}$

Сложим два уравнения: $(a+b)+(a-b) = 14-2$, что дает $2a = 12$, откуда $a = 6$.

Подставим значение $a=6$ в первое уравнение: $6+b=14$, откуда $b=8$.

В этом случае катеты равны 6 см и 8 см.

Оба случая приводят к одному и тому же набору длин катетов.

Проверим решение: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$. Сумма квадратов катетов $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, что равно квадрату гипотенузы $10^2$. Решение верное.

Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.