Номер 467, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

467. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) бригада может заасфальтировать один участок дороги, составляет $x$ часов. Поскольку вторая бригада работает на 4 часа медленнее, ей потребуется $x + 4$ часа на выполнение той же работы.

Производительность труда (скорость работы) первой бригады равна $\frac{1}{x}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{x+4}$ участка в час. При совместной работе их производительности складываются: $P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$ (участков в час).

Из условия задачи известно, что за 24 часа совместной работы бригады заасфальтировали 5 участков. Составим уравнение, используя формулу "Работа = Производительность × Время": $5 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot 24$

Для решения уравнения сначала разделим обе части на 24 и приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $\frac{5}{24} = \frac{x+4+x}{x(x+4)}$
$\frac{5}{24} = \frac{2x+4}{x^2+4x}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей: $5(x^2+4x) = 24(2x+4)$
$5x^2+20x = 48x+96$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2+20x - 48x - 96 = 0$
$5x^2 - 28x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{28 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-24}{10} = -2.4$

Так как $x$ обозначает время, оно должно быть положительной величиной. Поэтому корень $x_2 = -2.4$ не является решением задачи. Таким образом, время выполнения работы первой бригадой составляет $x = 8$ часов.

Время выполнения работы второй бригадой составляет $x + 4 = 8 + 4 = 12$ часов.

Ответ: первая бригада может заасфальтировать участок за 8 часов, а вторая — за 12 часов.