Номер 472, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

472. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта A пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Обозначим скорость пешехода, вышедшего из пункта А, как $v_A$ (в км/ч), а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, как $v_B$ (в км/ч). Общее расстояние между пунктами $S = 40$ км.

Из первого условия задачи известно, что пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу, и через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Это означает, что за 4 часа они вместе преодолели расстояние $40 - 4 = 36$ км. Скорость сближения пешеходов равна $v_A + v_B$. Таким образом, можно составить первое уравнение: $4 \cdot (v_A + v_B) = 36$.

Разделив обе части уравнения на 4, получим: $v_A + v_B = 9$.

Из второго условия известно, что если бы пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. Середина пути находится на расстоянии $40 / 2 = 20$ км от каждого из пунктов.

Это значит, что для встречи на середине пути пешеход из А должен пройти 20 км, и пешеход из В также должен пройти 20 км. Время, которое требуется пешеходу из А на этот путь, составляет $t_A = \frac{20}{v_A}$ часов. Время, которое требуется пешеходу из В, составляет $t_B = \frac{20}{v_B}$ часов.

Поскольку пешеход из А вышел на 1 час раньше, он находился в пути на 1 час дольше. Следовательно, $t_A = t_B + 1$. Составим второе уравнение: $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} v_A + v_B = 9 \\ \frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_A$: $v_A = 9 - v_B$.
Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{20}{9 - v_B} = \frac{20}{v_B} + 1$.

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю: $\frac{20}{9 - v_B} = \frac{20 + v_B}{v_B}$.
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $20v_B = (9 - v_B)(20 + v_B)$.
Раскроем скобки в правой части: $20v_B = 180 + 9v_B - 20v_B - v_B^2$
$20v_B = 180 - 11v_B - v_B^2$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_B^2 + 20v_B + 11v_B - 180 = 0$
$v_B^2 + 31v_B - 180 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$): $D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.
Найдем возможные значения для $v_B$: $v_{B1} = \frac{-31 + 41}{2} = \frac{10}{2} = 5$. $v_{B2} = \frac{-31 - 41}{2} = \frac{-72}{2} = -36$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому единственное верное решение: $v_B = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость пешехода из пункта А, подставив найденное значение $v_B$ в первое уравнение: $v_A = 9 - v_B = 9 - 5 = 4$.
Следовательно, $v_A = 4$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 4 км/ч, а другого 5 км/ч.