Номер 468, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

468. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик мог получить через год на 400 р. больше. Оставив эти деньги в банке ещё на год, он снял со своего счёта всю сумму, которая составила 5832 р. Какая сумма денег была положена в банк и сколько процентов годовых начислял банк?

Пусть S — первоначальная сумма денег, положенная в банк (в рублях), а p — годовая процентная ставка банка. Тогда коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за год, равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Согласно условию, через год сумма на счете увеличилась на 400 рублей. Это означает, что проценты, начисленные за первый год, составили 400 рублей. Математически это можно записать так:

$S \cdot \frac{p}{100} = 400$

Сумма на счете через год стала равна $S_1 = S + 400$ рублей.

Вкладчик оставил деньги еще на год. Проценты за второй год начислялись уже на новую сумму $S_1$. Через два года вкладчик снял со счета 5832 рубля. Это можно записать как:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = (S + 400) \cdot k = 5832$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными S и p (или k). Давайте для удобства использовать $r = \frac{p}{100}$ в качестве десятичной дроби для процентной ставки.

Система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} S \cdot r = 400 & (1) \\ (S + 400)(1 + r) = 5832 & (2) \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$S(1+r) + 400(1+r) = 5832$

$S + S \cdot r + 400 + 400 \cdot r = 5832$

Теперь подставим значение $S \cdot r = 400$ из первого уравнения в преобразованное второе уравнение:

$S + 400 + 400 + 400r = 5832$

$S + 800 + 400r = 5832$

$S + 400r = 5832 - 800$

$S + 400r = 5032$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} S \cdot r = 400 \\ S + 400r = 5032 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим S: $S = \frac{400}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{400}{r} + 400r = 5032$

Умножим обе части уравнения на r (так как $r \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:

$400 + 400r^2 = 5032r$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$400r^2 - 5032r + 400 = 0$

Для упрощения разделим все коэффициенты на 8:

$50r^2 - 629r + 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-629)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 50 = 395641 - 10000 = 385641$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{385641} = 621$.

Теперь найдем корни уравнения для r:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{629 \pm 621}{2 \cdot 50} = \frac{629 \pm 621}{100}$

$r_1 = \frac{629 - 621}{100} = \frac{8}{100} = 0.08$

$r_2 = \frac{629 + 621}{100} = \frac{1250}{100} = 12.5$

Мы получили два возможных значения для процентной ставки: $r_1 = 0.08$, что соответствует 8% годовых, и $r_2 = 12.5$, что соответствует 1250% годовых. В контексте банковского вклада ставка 1250% является нереалистичной, поэтому мы выбираем первый, экономически правдоподобный вариант: $r = 0.08$.

Таким образом, процентная ставка банка составляет $p = r \cdot 100 = 0.08 \cdot 100 = 8\%$ годовых.

Теперь найдем первоначальную сумму вклада S, используя уравнение $S = \frac{400}{r}$:

$S = \frac{400}{0.08} = \frac{40000}{8} = 5000$ рублей.

Проверим найденные значения:

• Первоначальный вклад: $S = 5000$ р.
• Процентная ставка: 8% годовых.
• Проценты за первый год: $5000 \cdot 0.08 = 400$ р. (Верно)
• Сумма через год: $5000 + 400 = 5400$ р.
• Сумма через два года: $5400 \cdot (1 + 0.08) = 5400 \cdot 1.08 = 5832$ р. (Верно)

Все условия задачи выполняются.

Ответ: первоначальная сумма вклада составляла 5000 рублей, а банк начислял 8% годовых.