Номер 473, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

473. Из пункта $M$ в пункт $N$, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт $N$ на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость более быстрого туриста. Тогда скорость второго, более медленного туриста, равна $(v-1)$ км/ч. Расстояние $S$ между пунктами M и N составляет 18 км.

Время, которое затратил на путь первый (быстрый) турист, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v}$, что составляет $t_1 = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь второй (медленный) турист, равно $t_2 = \frac{S}{v-1}$, что составляет $t_2 = \frac{18}{v-1}$ часов.

По условию задачи, один из туристов прибыл в пункт N на 54 минуты позже другого. Это означает, что время в пути медленного туриста было больше. Переведем разницу во времени из минут в часы для согласованности единиц измерения:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}.$

Разница во времени между туристами составляет $t_2 - t_1 = 0.9$ ч. Составим уравнение на основе этой информации:

$\frac{18}{v-1} - \frac{18}{v} = 0.9$

Для решения этого рационального уравнения, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v-1)$:

$\frac{18v - 18(v-1)}{v(v-1)} = 0.9$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18v - 18v + 18}{v^2 - v} = 0.9$

$\frac{18}{v^2 - v} = 0.9$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 - v)$, учитывая, что скорость $v$ должна быть больше 1, так как скорость второго туриста $(v-1)$ должна быть положительной. Таким образом, знаменатель не равен нулю.

$18 = 0.9(v^2 - v)$

Разделим обе части уравнения на 0.9:

$\frac{18}{0.9} = v^2 - v$

$20 = v^2 - v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - v - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$v_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -4$ не является решением задачи. Следовательно, скорость быстрого туриста равна $v = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость медленного туриста:

$v - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Таким образом, скорости туристов равны 5 км/ч и 4 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 5 км/ч, а скорость другого туриста 4 км/ч.