Номер 475, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. § 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 475, страница 124.

475. После того как смешали 12 г одной жидкости с 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна $1.3 \text{ г/см}^3$. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на $0.2 \text{ г/см}^3$ больше плотности другой?

Обозначим массу первой жидкости $m_1$, её плотность $\rho_1$. Массу второй жидкости обозначим $m_2$, её плотность $\rho_2$. Плотность полученной смеси — $\rho_{смеси}$.

Согласно условию задачи:
Масса первой жидкости: $m_1 = 12$ г.
Масса второй жидкости: $m_2 = 14$ г.
Плотность смеси: $\rho_{смеси} = 1,3$ г/см³.

Также известно, что вторая жидкость (массой 14 г) имеет большую плотность, и разница плотностей составляет $0,2$ г/см³. Запишем это в виде математического соотношения:
$\rho_2 = \rho_1 + 0,2$ г/см³

Плотность смеси вычисляется по формуле, исходя из того, что общая масса равна сумме масс компонентов, а общий объем — сумме объемов (предполагая аддитивность объемов при смешивании):
$\rho_{смеси} = \frac{M_{общ}}{V_{общ}} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$

Поскольку объем связан с массой и плотностью как $V = \frac{m}{\rho}$, формулу можно переписать так:
$\rho_{смеси} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}$

Подставим в формулу известные значения и выражение для $\rho_2$:
$1,3 = \frac{12 + 14}{\frac{12}{\rho_1} + \frac{14}{\rho_1 + 0,2}}$

Теперь решим это уравнение относительно $\rho_1$:
$1,3 = \frac{26}{\frac{12(\rho_1 + 0,2) + 14\rho_1}{\rho_1(\rho_1 + 0,2)}}$
$1,3 = \frac{26 \cdot \rho_1(\rho_1 + 0,2)}{12\rho_1 + 2,4 + 14\rho_1}$
$1,3 = \frac{26 (\rho_1^2 + 0,2\rho_1)}{26\rho_1 + 2,4}$

Разделим обе части уравнения на 26:
$\frac{1,3}{26} = \frac{\rho_1^2 + 0,2\rho_1}{26\rho_1 + 2,4}$
$0,05 = \frac{\rho_1^2 + 0,2\rho_1}{26\rho_1 + 2,4}$

Умножим обе части на знаменатель $(26\rho_1 + 2,4)$:
$0,05(26\rho_1 + 2,4) = \rho_1^2 + 0,2\rho_1$
$1,3\rho_1 + 0,12 = \rho_1^2 + 0,2\rho_1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $a\rho_1^2 + b\rho_1 + c = 0$:
$\rho_1^2 + 0,2\rho_1 - 1,3\rho_1 - 0,12 = 0$
$\rho_1^2 - 1,1\rho_1 - 0,12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1,1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,12) = 1,21 + 0,48 = 1,69$
$\sqrt{D} = \sqrt{1,69} = 1,3$

Корни уравнения равны:
$(\rho_1)_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,1 + 1,3}{2} = \frac{2,4}{2} = 1,2$
$(\rho_1)_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1,1 - 1,3}{2} = \frac{-0,2}{2} = -0,1$

Плотность не может быть отрицательной, поэтому физический смысл имеет только первый корень. Таким образом, плотность первой жидкости (менее плотной):
$\rho_1 = 1,2$ г/см³

Теперь найдем плотность второй жидкости (более плотной):
$\rho_2 = \rho_1 + 0,2 = 1,2 + 0,2 = 1,4$ г/см³

Ответ: плотность одной жидкости 1,2 г/см³, плотность другой жидкости 1,4 г/см³.