Номер 477, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

477. К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это начальная масса воды в растворе в граммах.

Масса соли в растворе по условию составляет 50 г.
Тогда начальная масса всего раствора равна $(50 + x)$ г.
Начальная концентрация соли ($C_1$) в растворе вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора:
$C_1 = \frac{50}{50 + x}$

После добавления 150 г воды масса воды в растворе стала $(x + 150)$ г, а общая масса нового раствора стала $(50 + x + 150) = (x + 200)$ г.
Новая концентрация соли ($C_2$) стала равна:
$C_2 = \frac{50}{x + 200}$

По условию, концентрация уменьшилась на 7,5%, что в долях составляет 0,075. Составим уравнение, отражающее это изменение:
$C_1 - C_2 = 0,075$
$\frac{50}{50 + x} - \frac{50}{x + 200} = 0,075$

Решим полученное уравнение. Сначала вынесем общий множитель 50 за скобки в левой части:
$50 \left( \frac{1}{50 + x} - \frac{1}{x + 200} \right) = 0,075$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(50 + x)(x + 200)$:
$50 \left( \frac{(x + 200) - (50 + x)}{(50 + x)(x + 200)} \right) = 0,075$

Упростим выражение в числителе:
$50 \left( \frac{150}{(50 + x)(x + 200)} \right) = 0,075$
$\frac{7500}{(50 + x)(x + 200)} = 0,075$

Теперь выразим знаменатель:
$(50 + x)(x + 200) = \frac{7500}{0,075}$
$(50 + x)(x + 200) = 100000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$50x + 10000 + x^2 + 200x = 100000$
$x^2 + 250x - 90000 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 250^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90000) = 62500 + 360000 = 422500$
$\sqrt{D} = \sqrt{422500} = 650$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-250 + 650}{2} = \frac{400}{2} = 200$
$x_2 = \frac{-250 - 650}{2} = \frac{-900}{2} = -450$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x = 200$.

Сколько воды содержал раствор

Начальное количество воды в растворе равно $x$.
Ответ: 200 г.

какова была его концентрация

Начальная концентрация ($C_1$) вычисляется подстановкой найденного значения $x=200$ в формулу для $C_1$ и выражается в процентах:
$C_1 = \frac{50}{50 + 200} \cdot 100\% = \frac{50}{250} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$
Ответ: 20%.