Номер 479, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

479. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y + 3x = 2, \\ x^2 - xy = 3.36. \end{cases} $

Решим данную систему уравнений методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -3x - 4$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (-3x - 4)^2 = 2$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение. Обратим внимание, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$.

$x^2 - (3x + 4)^2 = 2$

$x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2$

$x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2$

$-8x^2 - 24x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на $-2$ для упрощения:

$4x^2 + 12x + 9 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 0$

$(2x + 3)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = -3x - 4$:

$y = -3(-1.5) - 4 = 4.5 - 4 = 0.5$

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(-1.5; 0.5)$.

Ответ: $(-1.5; 0.5)$.

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2 - 3x$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - x(2 - 3x) = 3.36$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x + 3x^2 = 3.36$

$4x^2 - 2x - 3.36 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 100:

$400x^2 - 200x - 336 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 8:

$50x^2 - 25x - 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-42) = 625 + 8400 = 9025$

Так как $\sqrt{9025} = 95$, находим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{25 \pm 95}{2 \cdot 50} = \frac{25 \pm 95}{100}$

$x_1 = \frac{25 + 95}{100} = \frac{120}{100} = 1.2$

$x_2 = \frac{25 - 95}{100} = \frac{-70}{100} = -0.7$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2 - 3x$.

1) При $x_1 = 1.2$:

$y_1 = 2 - 3 \cdot 1.2 = 2 - 3.6 = -1.6$

Первое решение: $(1.2; -1.6)$.

2) При $x_2 = -0.7$:

$y_2 = 2 - 3 \cdot (-0.7) = 2 + 2.1 = 4.1$

Второе решение: $(-0.7; 4.1)$.

Ответ: $(1.2; -1.6)$, $(-0.7; 4.1)$.