Номер 483, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

483. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

а) $y > 2x - 3;$

б) $y < 3x - 5;$

в) $y \leq x^2 - 1;$

г) $x^2 + y^2 \leq 9.$

а) $y > 2x - 3$

Чтобы найти решение неравенства, нужно подобрать такую пару чисел $(x, y)$, которая при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое высказывание. Для этого можно выбрать произвольное значение для одной переменной и на его основе найти подходящее значение для другой.

Первое решение:
Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=1$. Подставим его в неравенство:
$y > 2 \cdot 1 - 3$
$y > 2 - 3$
$y > -1$
Теперь выберем любое значение $y$, которое больше, чем -1. Например, $y=0$.
Таким образом, пара $(1, 0)$ является решением. Проверим: $0 > 2 \cdot 1 - 3 \implies 0 > -1$. Неравенство верно.

Второе решение:
Возьмем другое значение $x$, например, $x=3$. Подставим его в неравенство:
$y > 2 \cdot 3 - 3$
$y > 6 - 3$
$y > 3$
Выберем любое значение $y$, которое больше 3. Например, $y=5$.
Таким образом, пара $(3, 5)$ является решением. Проверим: $5 > 2 \cdot 3 - 3 \implies 5 > 3$. Неравенство верно.

Ответ: $(1, 0)$ и $(3, 5)$.

б) $y < 3x - 5$

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

Первое решение:
Возьмем $x=2$. Подставим в неравенство:
$y < 3 \cdot 2 - 5$
$y < 6 - 5$
$y < 1$
Выберем любое значение $y$, которое меньше 1. Например, $y=0$.
Пара $(2, 0)$ является решением. Проверка: $0 < 3 \cdot 2 - 5 \implies 0 < 1$. Верно.

Второе решение:
Возьмем $x=4$. Подставим в неравенство:
$y < 3 \cdot 4 - 5$
$y < 12 - 5$
$y < 7$
Выберем любое значение $y$, которое меньше 7. Например, $y=0$.
Пара $(4, 0)$ является решением. Проверка: $0 < 3 \cdot 4 - 5 \implies 0 < 7$. Верно.

Ответ: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

в) $y \le x^2 - 1$

Здесь неравенство нестрогое, поэтому $y$ может быть равен $x^2 - 1$.

Первое решение:
Возьмем $x=0$. Подставим в неравенство:
$y \le 0^2 - 1$
$y \le -1$
Выберем любое значение $y$, которое меньше или равно -1. Например, $y=-1$.
Пара $(0, -1)$ является решением. Проверка: $-1 \le 0^2 - 1 \implies -1 \le -1$. Верно.

Второе решение:
Возьмем $x=3$. Подставим в неравенство:
$y \le 3^2 - 1$
$y \le 9 - 1$
$y \le 8$
Выберем любое значение $y$, которое меньше или равно 8. Например, $y=5$.
Пара $(3, 5)$ является решением. Проверка: $5 \le 3^2 - 1 \implies 5 \le 8$. Верно.

Ответ: $(0, -1)$ и $(3, 5)$.

г) $x^2 + y^2 \le 9$

Данное неравенство описывает все точки внутри и на границе окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Чтобы найти решение, нужно выбрать любую пару $(x, y)$, для которой сумма квадратов координат не превышает 9.

Первое решение:
Проще всего взять центр окружности, точку $(0, 0)$.
Подставим в неравенство:
$0^2 + 0^2 \le 9$
$0 \le 9$
Неравенство верно, значит, пара $(0, 0)$ является решением.

Второе решение:
Возьмем любую другую точку, которая очевидно лежит внутри окружности, например, $(1, 1)$.
Подставим в неравенство:
$1^2 + 1^2 \le 9$
$1 + 1 \le 9$
$2 \le 9$
Неравенство верно, значит, пара $(1, 1)$ также является решением.

Ответ: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.