Номер 489, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

489. Какое множество точек задаётся неравенством:

а) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0;$

б) $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0?$

а) Чтобы определить, какое множество точек задает неравенство $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \le 0$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр, а $R$ — радиус.

Сгруппируем слагаемые в исходном неравенстве:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 13 \le 0$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого воспользуемся формулой $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x-3)^2 - 9$.

Для $y$: $y^2 - 4y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство:

$((x-3)^2 - 9) + ((y-2)^2 - 4) + 13 \le 0$

Упростим полученное выражение:

$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 9 - 4 + 13 \le 0$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 \le 0$

Выражения $(x-3)^2$ и $(y-2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел может быть меньше или равна нулю только в том случае, когда оба числа равны нулю.

Следовательно, неравенство выполняется только при одновременном выполнении условий:

$(x-3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$

$(y-2)^2 = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$

Таким образом, неравенство удовлетворяется только в одной точке с координатами $(3, 2)$.

Ответ: Заданное неравенство определяет единственную точку $(3, 2)$.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 - 4x - y + 5 \ge 0$.

Это неравенство задает некоторую область на координатной плоскости. Для определения этой области выразим переменную $y$:

$x^2 - 4x + 5 \ge y$

или

$y \le x^2 - 4x + 5$

Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2 - 4x + 5$. Это уравнение параболы.

Чтобы определить параметры этой параболы, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$

$y = (x-2)^2 + 1$

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(2, 1)$. Поскольку коэффициент при $(x-2)^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $y \le (x-2)^2 + 1$ описывает все точки, у которых ордината $y$ меньше или равна значению функции $x^2 - 4x + 5$ при том же $x$. Геометрически это означает множество всех точек, которые лежат на самой параболе $y = (x-2)^2 + 1$ и ниже неё.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством, представляет собой область, ограниченную сверху параболой $y = x^2 - 4x + 5$, включая саму параболу. Это все точки, лежащие на параболе и под ней.