Номер 493, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

493. Постройте график уравнения:

a) $x^2 - y^2 = 0;$

б) $\frac{x^2 - y}{x} = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$.
Левую часть уравнения можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Получаем: $(x - y)(x + y) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:
1) $x - y = 0$, откуда $y = x$.
2) $x + y = 0$, откуда $y = -x$.
Графиком уравнения $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
Графиком уравнения $y=-x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.
График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в точке $(0, 0)$ прямых, заданных уравнениями $y=x$ и $y=-x$.

б)

Дано уравнение $\frac{x^2 - y}{x} = 0$.
Дробь равна нулю в том и только в том случае, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:
$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения системы выражаем $y$: $y = x^2$.
Графиком функции $y = x^2$ является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
Второе условие системы $x \neq 0$ (область допустимых значений) означает, что из графика параболы $y=x^2$ необходимо исключить точку, абсцисса которой равна нулю.
Если $x = 0$, то $y = 0^2 = 0$. Следовательно, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику данного уравнения.
Таким образом, искомый график — это парабола $y = x^2$ с "выколотой" точкой в ее вершине.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой вершиной в точке $(0, 0)$.