Номер 497, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

497. (Для работы в парах.) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $ \begin{cases} y \ge x - 3, \\ y \le -x + 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y < 4, \\ x + y < 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} -2x + y < -1, \\ x - y > 3; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x + y \ge 3, \\ x - y < 2. \end{cases} $

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли показано множество решений системы неравенств в каждом случае.

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge x - 3 \\ y \le -x + 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую для первого неравенства: $y = x - 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), линия рисуется сплошной. Неравенству $y \ge x - 3$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой и выше нее.

2. Построим граничную прямую для второго неравенства: $y = -x + 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), линия рисуется сплошной. Неравенству $y \le -x + 3$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой и ниже нее.

3. Множество решений системы — это пересечение областей, найденных в пунктах 1 и 2. Это область, расположенная одновременно выше (и на) прямой $y = x - 3$ и ниже (и на) прямой $y = -x + 3$. Прямые пересекаются в точке $(3, 0)$, так как $x - 3 = -x + 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3$, и $y = 3 - 3 = 0$.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область (угол), ограниченная справа двумя лучами $y = x - 3$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения $(3, 0)$. Штриховкой покрывается вся область слева от этих лучей, включая сами лучи.

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 2y < 4 \\ x + y < 3 \end{cases} $$ Для удобства построения выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y > \frac{1}{2}x - 2 \\ y < -x + 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую для первого неравенства: $y = \frac{1}{2}x - 2$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(4, 0)$. Так как неравенство строгое ($ > $), линия рисуется пунктирной. Неравенству $y > \frac{1}{2}x - 2$ удовлетворяют все точки, лежащие выше этой прямой.

2. Построим граничную прямую для второго неравенства: $y = -x + 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство строгое ($ < $), линия рисуется пунктирной. Неравенству $y < -x + 3$ удовлетворяют все точки, лежащие ниже этой прямой.

3. Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. Найдем точку пересечения прямых: $\frac{1}{2}x - 2 = -x + 3 \implies \frac{3}{2}x = 5 \implies x = \frac{10}{3}$. Тогда $y = - \frac{10}{3} + 3 = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область (угол), ограниченная справа двумя лучами $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$. Штриховкой покрывается вся область слева от этих лучей, не включая сами лучи (границы пунктирные).

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} -2x + y < -1 \\ x - y > 3 \end{cases} $$ Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y < 2x - 1 \\ y < x - 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую $y = 2x - 1$. Она проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

2. Построим граничную прямую $y = x - 3$. Она проходит через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

3. Множество решений системы — это область, которая находится одновременно ниже обеих прямых. Найдем их точку пересечения: $2x - 1 = x - 3 \implies x = -2$. Тогда $y = -2 - 3 = -5$. Точка пересечения — $(-2, -5)$. Решением будет являться область под "нижней" из двух границ.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область, ограниченная сверху ломаной линией, состоящей из двух лучей: $y=2x-1$ для $x \le -2$ и $y=x-3$ для $x \ge -2$. Вершина ломаной находится в точке $(-2, -5)$. Штриховкой покрывается вся область под этой ломаной, не включая саму ломаную (границы пунктирные).

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ x - y < 2 \end{cases} $$ Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y \ge -x + 3 \\ y > x - 2 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому линия сплошная. Решением является полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Построим граничную прямую $y = x - 2$. Она проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Неравенство строгое ($ > $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость выше этой прямой.

3. Множество решений системы — это область, которая находится одновременно выше обеих прямых. Найдем их точку пересечения: $-x + 3 = x - 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$. Тогда $y = 2.5 - 2 = 0.5$. Точка пересечения — $(2.5, 0.5)$. Решением будет являться область над "верхней" из двух границ.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область, ограниченная снизу ломаной линией, состоящей из двух лучей: $y = -x + 3$ для $x \le 2.5$ (сплошной) и $y = x - 2$ для $x \ge 2.5$ (пунктирный). Вершина ломаной находится в точке $(2.5, 0.5)$. Штриховкой покрывается вся область над этой ломаной. Луч $y = -x + 3$ при $x \le 2.5$ включается в решение, а луч $y = x - 2$ при $x \ge 2.5$ не включается.

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

Для графического решения систем линейных неравенств с двумя переменными ($x$ и $y$) удобнее всего привести каждое неравенство к виду, где переменная $y$ выражена через $x$. То есть, к одному из следующих видов: $y < kx + b$, $y > kx + b$, $y \le kx + b$ или $y \ge kx + b$.

Во-первых, такая форма удобна, потому что выражение $y = kx + b$ является уравнением прямой в виде с угловым коэффициентом, который легко построить на координатной плоскости. Коэффициент $b$ показывает точку пересечения с осью $OY$, а коэффициент $k$ (угловой коэффициент) показывает наклон прямой.

Во-вторых, этот вид позволяет однозначно определить, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит координатную плоскость, нужно заштриховать. Если неравенство имеет вид $y > kx + b$ или $y \ge kx + b$, то решением является полуплоскость, расположенная выше граничной прямой. Если же неравенство имеет вид $y < kx + b$ или $y \le kx + b$, то решением является полуплоскость, расположенная ниже граничной прямой.

Применение этого подхода к заданиям:
Для б): $x - 2y < 4 \implies -2y < -x+4 \implies y > \frac{1}{2}x - 2$ и $x+y < 3 \implies y < -x+3$.
Для в): $-2x + y < -1 \implies y < 2x - 1$ и $x-y > 3 \implies -y > -x+3 \implies y < x - 3$.
Для г): $x + y \ge 3 \implies y \ge -x + 3$ и $x-y < 2 \implies -y < -x+2 \implies y > x - 2$.

Ответ: Неравенства в заданиях б), в) и г) удобно привести к виду, где переменная $y$ выражена через $x$ (например, $y > kx+b$ или $y \le kx+b$), так как это упрощает построение граничных прямых и определение нужной полуплоскости.