Номер 502, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 8. Неравенства с двумя переменными и их системы. 22. Системы неравенств с двумя переменными - номер 502, страница 133.

Условие.

502. Задайте системой неравенств:

а) треугольник, изображённый на рисунке 73, а;

б) кольцо, изображённое на рисунке 73, б.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы задать треугольник системой неравенств, необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем преобразовать эти уравнения в неравенства, описывающие внутреннюю область треугольника, включая его границы.

Поскольку сам рисунок 73, а не предоставлен, мы рассмотрим гипотетический, но типичный для таких задач случай. Предположим, на рисунке изображён прямоугольный треугольник, расположенный в первой координатной четверти, с вершинами в точках A(0, 0), B(5, 0) и C(0, 3).

Стороны этого треугольника лежат на следующих прямых:

1. Сторона AB, лежащая на оси Ox. Её уравнение $y = 0$. Так как треугольник находится выше или на этой оси, первое неравенство будет $y \ge 0$.

2. Сторона AC, лежащая на оси Oy. Её уравнение $x = 0$. Так как треугольник находится правее или на этой оси, второе неравенство будет $x \ge 0$.

3. Сторона BC, проходящая через точки B(5, 0) и C(0, 3). Составим уравнение этой прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек B и C:
$\frac{x - 5}{0 - 5} = \frac{y - 0}{3 - 0}$
$\frac{x - 5}{-5} = \frac{y}{3}$
$3(x - 5) = -5y$
$3x - 15 = -5y$
$3x + 5y - 15 = 0$

Чтобы определить знак неравенства, возьмём любую точку внутри треугольника, например, начало координат O(0, 0), которое является одной из вершин. Подставим её координаты в левую часть уравнения:
$3(0) + 5(0) - 15 = -15$.
Поскольку результат $-15$ меньше нуля, все точки, принадлежащие треугольнику, удовлетворяют неравенству $3x + 5y - 15 \le 0$, или $3x + 5y \le 15$.

Таким образом, искомая система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид:

$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$

Ответ:$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$(Примечание: вид системы неравенств зависит от конкретного расположения и вершин треугольника, изображенного на рисунке 73, а).

б)

Кольцо — это плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями. Чтобы задать кольцо системой неравенств, нужно знать координаты центра, а также радиусы внутренней и внешней окружностей.

Предположим, что на рисунке 73, б изображено кольцо с центром в начале координат O(0, 0). Пусть радиус внутренней окружности равен $r_1$, а радиус внешней — $r_2$. Для определенности возьмем $r_1=1$ и $r_2=3$.

Уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Для нашего случая с центром в (0, 0) уравнение упрощается до $x^2 + y^2 = r^2$.

• Уравнение внутренней окружности: $x^2 + y^2 = r_1^2 \implies x^2 + y^2 = 1^2 \implies x^2 + y^2 = 1$.

• Уравнение внешней окружности: $x^2 + y^2 = r_2^2 \implies x^2 + y^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 = 9$.

Точки, принадлежащие кольцу, находятся на расстоянии от центра, которое больше или равно радиусу внутренней окружности и меньше или равно радиусу внешней окружности. Это можно выразить двумя неравенствами:

1. Точки находятся вне или на границе внутренней окружности: $x^2 + y^2 \ge r_1^2$, то есть $x^2 + y^2 \ge 1$.

2. Точки находятся внутри или на границе внешней окружности: $x^2 + y^2 \le r_2^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 9$.

Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое и задает искомое кольцо.

$$1 \le x^2 + y^2 \le 9$$

Ответ: $1 \le x^2 + y^2 \le 9$ (Примечание: вид неравенства зависит от конкретного центра и радиусов окружностей, изображенных на рисунке 73, б).