Номер 502, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

502. Задайте системой неравенств:

а) треугольник, изображённый на рисунке 73, а;

б) кольцо, изображённое на рисунке 73, б.

а)

Чтобы задать треугольник системой неравенств, необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем преобразовать эти уравнения в неравенства, описывающие внутреннюю область треугольника, включая его границы.

Поскольку сам рисунок 73, а не предоставлен, мы рассмотрим гипотетический, но типичный для таких задач случай. Предположим, на рисунке изображён прямоугольный треугольник, расположенный в первой координатной четверти, с вершинами в точках A(0, 0), B(5, 0) и C(0, 3).

Стороны этого треугольника лежат на следующих прямых:

1. Сторона AB, лежащая на оси Ox. Её уравнение $y = 0$. Так как треугольник находится выше или на этой оси, первое неравенство будет $y \ge 0$.

2. Сторона AC, лежащая на оси Oy. Её уравнение $x = 0$. Так как треугольник находится правее или на этой оси, второе неравенство будет $x \ge 0$.

3. Сторона BC, проходящая через точки B(5, 0) и C(0, 3). Составим уравнение этой прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек B и C:
$\frac{x - 5}{0 - 5} = \frac{y - 0}{3 - 0}$
$\frac{x - 5}{-5} = \frac{y}{3}$
$3(x - 5) = -5y$
$3x - 15 = -5y$
$3x + 5y - 15 = 0$

Чтобы определить знак неравенства, возьмём любую точку внутри треугольника, например, начало координат O(0, 0), которое является одной из вершин. Подставим её координаты в левую часть уравнения:
$3(0) + 5(0) - 15 = -15$.
Поскольку результат $-15$ меньше нуля, все точки, принадлежащие треугольнику, удовлетворяют неравенству $3x + 5y - 15 \le 0$, или $3x + 5y \le 15$.

Таким образом, искомая система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид:

$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$

Ответ:$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$(Примечание: вид системы неравенств зависит от конкретного расположения и вершин треугольника, изображенного на рисунке 73, а).

б)

Кольцо — это плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями. Чтобы задать кольцо системой неравенств, нужно знать координаты центра, а также радиусы внутренней и внешней окружностей.

Предположим, что на рисунке 73, б изображено кольцо с центром в начале координат O(0, 0). Пусть радиус внутренней окружности равен $r_1$, а радиус внешней — $r_2$. Для определенности возьмем $r_1=1$ и $r_2=3$.

Уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Для нашего случая с центром в (0, 0) уравнение упрощается до $x^2 + y^2 = r^2$.

• Уравнение внутренней окружности: $x^2 + y^2 = r_1^2 \implies x^2 + y^2 = 1^2 \implies x^2 + y^2 = 1$.

• Уравнение внешней окружности: $x^2 + y^2 = r_2^2 \implies x^2 + y^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 = 9$.

Точки, принадлежащие кольцу, находятся на расстоянии от центра, которое больше или равно радиусу внутренней окружности и меньше или равно радиусу внешней окружности. Это можно выразить двумя неравенствами:

1. Точки находятся вне или на границе внутренней окружности: $x^2 + y^2 \ge r_1^2$, то есть $x^2 + y^2 \ge 1$.

2. Точки находятся внутри или на границе внешней окружности: $x^2 + y^2 \le r_2^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 9$.

Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое и задает искомое кольцо.

$$1 \le x^2 + y^2 \le 9$$

Ответ: $1 \le x^2 + y^2 \le 9$ (Примечание: вид неравенства зависит от конкретного центра и радиусов окружностей, изображенных на рисунке 73, б).