Страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

500. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а) $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x - 3)^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1, \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} $

а) Решение данной системы неравенств $ \begin{cases} y \ge x^2, \\ y \le 4; \end{cases} $ требует найти на координатной плоскости область, удовлетворяющую обоим условиям.

Неравенство $y \ge x^2$ задает множество точек, которые лежат на параболе $y = x^2$ или выше нее. Вершина этой параболы находится в начале координат $(0,0)$, а ее ветви направлены вверх.

Неравенство $y \le 4$ задает полуплоскость, которая включает в себя горизонтальную прямую $y=4$ и все точки под ней.

Искомое множество решений является пересечением этих двух областей. Это область, ограниченная снизу дугой параболы $y=x^2$ и сверху отрезком прямой $y=4$. Так как оба неравенства нестрогие, границы области (парабола и прямая) включаются в решение. Найдем точки пересечения этих линий: $x^2 = 4$, что дает $x=2$ и $x=-2$. Таким образом, точки пересечения — это $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Множество решений представляет собой фигуру, ограниченную снизу параболой $y=x^2$, а сверху — отрезком прямой $y=4$, соединяющим точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

б) Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ x - y \ge 0; \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ описывает круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Решение включает в себя все точки внутри круга и на его границе (окружности), так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство $x - y \ge 0$ можно переписать как $y \le x$. Оно задает полуплоскость, расположенную на прямой $y=x$ и ниже нее. Прямая $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга $x^2 + y^2 \le 4$, которая находится на прямой $y=x$ или под ней.

Ответ: Множество решений — это сегмент круга с центром в $(0,0)$ и радиусом $2$, отсекаемый прямой $y=x$ и расположенный под этой прямой, включая границы.

в) Изобразим множество решений системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (x-3)^2 + y^2 \le 9; \end{cases} $

Неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $O_1(0,0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{9} = 3$, включая его границу.

Неравенство $(x - 3)^2 + y^2 \le 9$ задает круг с центром в точке $O_2(3,0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$, также включая границу.

Решением системы является общая часть этих двух кругов. Это область их пересечения. Чтобы найти точки пересечения окружностей, решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x - 3)^2 + y^2 = 9 \end{cases} $. Из первого уравнения $y^2 = 9 - x^2$. Подставим во второе: $(x - 3)^2 + (9 - x^2) = 9$. Раскрыв скобки, получаем $x^2 - 6x + 9 + 9 - x^2 = 9$, откуда $-6x = -9$, и $x = 1.5$. Найдем $y$: $y^2 = 9 - (1.5)^2 = 9 - 2.25 = 6.75$. Тогда $y = \pm\sqrt{6.75} = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Точки пересечения границ: $(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ и $(1.5, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Множество решений — это область пересечения двух кругов радиусом $3$ каждый, с центрами в точках $(0,0)$ и $(3,0)$. Геометрически эта фигура представляет собой линзу, ограниченную дугами двух окружностей.

г) Рассмотрим систему $ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1, \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} $

Выражение $(x - 2)^2 + (y + 1)^2$ представляет собой квадрат расстояния от точки $(x,y)$ до центра $C(2, -1)$.

Первое неравенство $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1$ задает множество точек, расположенных на окружности с центром $C(2, -1)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{1} = 1$ и во внешней по отношению к ней области.

Второе неравенство $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9$ задает круг с тем же центром $C(2, -1)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{9} = 3$, включая его границу.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все точки, которые находятся на расстоянии от 1 до 3 (включительно) от точки $C(2, -1)$.

Ответ: Множество решений представляет собой кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(2, -1)$, внутренним радиусом $r_1 = 1$ и внешним радиусом $r_2 = 3$. Обе граничные окружности включены в решение.

501. (Задача-исследование.) При каких значениях $k$ и $b$ система неравенств

$$ \begin{cases} y \leq 3x - 1, \\ y \geq kx + b \end{cases} $$

задаёт на координатной плоскости:

а) полосу; б) угол; в) прямую?

Может ли эта система не иметь решений?

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

2) Выясните, при каких значениях $k$ и $b$ система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > kx + b \end{cases} $$

Первое неравенство $y \le 3x - 1$ задаёт на координатной плоскости замкнутую полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y = 3x - 1$. Угловой коэффициент этой прямой равен 3.

Второе неравенство $y > kx + b$ задаёт открытую полуплоскость, расположенную строго выше прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент этой прямой равен $k$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Геометрическая форма этого пересечения зависит от взаимного расположения прямых $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$, которое, в свою очередь, зависит от параметров $k$ и $b$.

Полоса на плоскости — это область, заключенная между двумя параллельными прямыми. Чтобы граничные прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 3, следовательно, $k$ тоже должен быть равен 3.

$$k = 3$$

При $k=3$ система неравенств принимает вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x + b \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b < y \le 3x - 1$.

Чтобы это неравенство имело решения и задавало полосу, верхняя граница для $y$ должна быть больше нижней границы. То есть, должно выполняться условие:

$$3x - 1 > 3x + b$$

Вычитая $3x$ из обеих частей, получаем:

$$-1 > b \quad \text{или} \quad b < -1$$

Таким образом, система задаёт полосу, если $k=3$ и $b < -1$. Границами полосы являются прямая $y = 3x - 1$ (включена в решение) и прямая $y = 3x + b$ (не включена в решение).

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать две параллельные прямые. Прямую $y = 3x - 1$ — сплошной линией, так как неравенство нестрогое. Прямую $y = 3x + b$ (где $b$ — любое число меньше -1, например, $b=-2$) — пунктирной линией, так как неравенство строгое. Решением будет область (полоса), расположенная между этими двумя прямыми, которую следует заштриховать.

Ответ: система задаёт полосу при $k = 3$ и $b < -1$.

Угол (как часть плоскости) образуется при пересечении двух непараллельных прямых. Чтобы граничные прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны.

$$k \ne 3$$

Если $k \ne 3$, прямые пересекаются в одной точке, деля плоскость на четыре части (угла). Пересечение двух полуплоскостей, заданных нашими неравенствами, как раз и будет одной из этих частей. При этом значение параметра $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет лишь на положение точки пересечения, но не на сам факт пересечения прямых.

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать сплошную прямую $y = 3x - 1$ и пересекающую её пунктирную прямую $y = kx + b$ (где $k \ne 3$, например, можно взять $k=1, b=1$, получив прямую $y = x+1$). Область, являющаяся решением, — это пересечение области ниже сплошной прямой и области выше пунктирной прямой. Эту область (угол) следует заштриховать.

Ответ: система задаёт угол при $k \ne 3$ и любом значении $b$.

Решением системы является множество точек $(x,y)$, для которых выполняется двойное неравенство $kx + b < y \le 3x - 1$.

Прямая — это одномерное множество точек. Однако, если множество решений не пустое, то для каждого значения $x$ (из некоторого диапазона) существует целый интервал возможных значений $y$, а именно $(kx+b, 3x-1]$. Такой интервал содержит бесконечно много точек, а значит, решение является двумерной областью (полосой или углом), а не одномерной линией.

Рассмотрим предельный случай, который мог бы дать прямую: когда верхняя и нижняя границы совпадают, то есть $kx+b = 3x-1$. Это возможно для всех $x$ только если $k=3$ и $b=-1$. В этом случае система неравенств примет вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x - 1 \end{cases} $$

Не существует такого числа $y$, которое одновременно было бы не больше некоторого значения и строго больше этого же значения. Следовательно, в этом случае система не имеет решений (решением является пустое множество).

Таким образом, данная система неравенств не может задавать на плоскости прямую ни при каких значениях $k$ и $b$.

Ответ: не существует таких значений $k$ и $b$, при которых система задаёт прямую.

Может ли эта система не иметь решений?

Да, система может не иметь решений. Это произойдет в том случае, если множество точек, удовлетворяющих первому неравенству, не пересекается с множеством точек, удовлетворяющих второму. То есть, полуплоскость $y \le 3x - 1$ не имеет общих точек с полуплоскостью $y > kx + b$.

Это возможно только если прямые параллельны ($k=3$), и прямая $y=3x+b$ расположена "выше" прямой $y=3x-1$ или совпадает с ней. Формально, это означает, что для любого $x$ должно выполняться $3x+b \ge 3x-1$.

$$3x+b \ge 3x-1$$

$$b \ge -1$$

Итак, система не имеет решений, когда $k=3$ и $b \ge -1$.

Пример, когда система не имеет решений: Пусть $k=3$ и $b=0$. Система имеет вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x \end{cases} $$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого $y$, которое одновременно меньше или равно $3x-1$ и строго больше $3x$, ведь $3x > 3x-1$ для любого $x$.

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать две параллельные прямые: сплошную $y = 3x - 1$ и пунктирную $y = 3x + b$ (где $b \ge -1$, например, $b=1$). Область решений первого неравенства находится на и ниже сплошной прямой, а область решений второго — строго выше пунктирной. Поскольку прямая $y=3x+b$ лежит не ниже прямой $y=3x-1$, эти две области не пересекаются.

Ответ: да, может. Система не имеет решений при $k=3$ и $b \ge -1$.

502. Задайте системой неравенств:

а) треугольник, изображённый на рисунке 73, а;

б) кольцо, изображённое на рисунке 73, б.

а)

Чтобы задать треугольник системой неравенств, необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем преобразовать эти уравнения в неравенства, описывающие внутреннюю область треугольника, включая его границы.

Поскольку сам рисунок 73, а не предоставлен, мы рассмотрим гипотетический, но типичный для таких задач случай. Предположим, на рисунке изображён прямоугольный треугольник, расположенный в первой координатной четверти, с вершинами в точках A(0, 0), B(5, 0) и C(0, 3).

Стороны этого треугольника лежат на следующих прямых:

1. Сторона AB, лежащая на оси Ox. Её уравнение $y = 0$. Так как треугольник находится выше или на этой оси, первое неравенство будет $y \ge 0$.

2. Сторона AC, лежащая на оси Oy. Её уравнение $x = 0$. Так как треугольник находится правее или на этой оси, второе неравенство будет $x \ge 0$.

3. Сторона BC, проходящая через точки B(5, 0) и C(0, 3). Составим уравнение этой прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек B и C:
$\frac{x - 5}{0 - 5} = \frac{y - 0}{3 - 0}$
$\frac{x - 5}{-5} = \frac{y}{3}$
$3(x - 5) = -5y$
$3x - 15 = -5y$
$3x + 5y - 15 = 0$

Чтобы определить знак неравенства, возьмём любую точку внутри треугольника, например, начало координат O(0, 0), которое является одной из вершин. Подставим её координаты в левую часть уравнения:
$3(0) + 5(0) - 15 = -15$.
Поскольку результат $-15$ меньше нуля, все точки, принадлежащие треугольнику, удовлетворяют неравенству $3x + 5y - 15 \le 0$, или $3x + 5y \le 15$.

Таким образом, искомая система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид:

$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$

Ответ:$$\begin{cases}x \ge 0 \\y \ge 0 \\3x + 5y \le 15\end{cases}$$(Примечание: вид системы неравенств зависит от конкретного расположения и вершин треугольника, изображенного на рисунке 73, а).

б)

Кольцо — это плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя концентрическими окружностями. Чтобы задать кольцо системой неравенств, нужно знать координаты центра, а также радиусы внутренней и внешней окружностей.

Предположим, что на рисунке 73, б изображено кольцо с центром в начале координат O(0, 0). Пусть радиус внутренней окружности равен $r_1$, а радиус внешней — $r_2$. Для определенности возьмем $r_1=1$ и $r_2=3$.

Уравнение окружности с центром в точке $(h, k)$ и радиусом $r$ имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Для нашего случая с центром в (0, 0) уравнение упрощается до $x^2 + y^2 = r^2$.

• Уравнение внутренней окружности: $x^2 + y^2 = r_1^2 \implies x^2 + y^2 = 1^2 \implies x^2 + y^2 = 1$.

• Уравнение внешней окружности: $x^2 + y^2 = r_2^2 \implies x^2 + y^2 = 3^2 \implies x^2 + y^2 = 9$.

Точки, принадлежащие кольцу, находятся на расстоянии от центра, которое больше или равно радиусу внутренней окружности и меньше или равно радиусу внешней окружности. Это можно выразить двумя неравенствами:

1. Точки находятся вне или на границе внутренней окружности: $x^2 + y^2 \ge r_1^2$, то есть $x^2 + y^2 \ge 1$.

2. Точки находятся внутри или на границе внешней окружности: $x^2 + y^2 \le r_2^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 9$.

Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое и задает искомое кольцо.

$$1 \le x^2 + y^2 \le 9$$

Ответ: $1 \le x^2 + y^2 \le 9$ (Примечание: вид неравенства зависит от конкретного центра и радиусов окружностей, изображенных на рисунке 73, б).

503. Одна из сторон острого угла проходит через точки $(0; 0)$ и $(3; 3)$, а другая — через точки $(0; -2)$ и $(3; -2)$. Задайте этот угол системой неравенств.

Для того чтобы задать угол системой неравенств, сначала необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью OY.

Первая сторона угла проходит через точки (0; 0) и (3; 3). Подставим координаты точки (0; 0) в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b \implies b = 0$

Теперь уравнение имеет вид $y = kx$. Подставим координаты второй точки (3; 3):

$3 = k \cdot 3 \implies k = 1$

Следовательно, уравнение первой прямой: $y = x$.

Вторая сторона угла проходит через точки (0; -2) и (3; -2). Подставим координаты точки (0; -2) в уравнение прямой $y = kx + b$:

$-2 = k \cdot 0 + b \implies b = -2$

Теперь уравнение имеет вид $y = kx - 2$. Подставим координаты второй точки (3; -2):

$-2 = k \cdot 3 - 2 \implies 3k = 0 \implies k = 0$

Следовательно, уравнение второй прямой: $y = -2$.

Теперь у нас есть уравнения двух прямых, которые образуют угол: $y = x$ и $y = -2$. Угол — это область на плоскости, заключенная между лучами, лежащими на этих прямых. Чтобы задать эту область неравенствами, нужно определить, по какую сторону от каждой из прямых она находится.

Указано, что угол острый. Лучи, образующие угол, исходят из точки их пересечения (вершины угла). Найдем вершину, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x \\ y = -2\end{cases}\implies x = -2, y = -2$

Вершина угла находится в точке (-2; -2). Стороны угла — это лучи, идущие из этой точки и проходящие через (3; 3) и (3; -2) соответственно.

Для определения знаков в неравенствах возьмем любую точку, которая лежит внутри этого угла. Например, точка (0; -1) находится между лучами. Подставим ее координаты в уравнения прямых, заменяя знак равенства на знак неравенства.

Для первой прямой $y = x$: подставляем (0; -1). Получаем $-1$ и $0$. Так как $-1 < 0$, то для всех точек угла будет выполняться неравенство $y < x$.

Для второй прямой $y = -2$: подставляем (0; -1). Получаем $-1$ и $-2$. Так как $-1 > -2$, то для всех точек угла будет выполняться неравенство $y > -2$.

Таким образом, искомый острый угол задается системой из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y < x \\ y > -2\end{cases}$

504. Решите уравнение:

а) $ (x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0 $;

б) $ (x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0 $.

а) $(x + 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для его решения удобно использовать метод замены переменной.

Пусть $y = x + 2$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=1$, $b=9$, $c=20$. Решим его через дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Если $y = -5$, то $x + 2 = -5$. Отсюда $x_1 = -5 - 2 = -7$.

2. Если $y = -4$, то $x + 2 = -4$. Отсюда $x_2 = -4 - 2 = -6$.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа -7 и -6.

Ответ: -7; -6.

б) $(x - 5)^2 + 2(x - 5) - 63 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно выражения $(x - 5)$.

Пусть $z = x - 5$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$z^2 + 2z - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-63$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь вернемся к переменной $x$ с помощью обратной замены.

1. Если $z = -9$, то $x - 5 = -9$. Отсюда $x_1 = -9 + 5 = -4$.

2. Если $z = 7$, то $x - 5 = 7$. Отсюда $x_2 = 7 + 5 = 12$.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа -4 и 12.

Ответ: -4; 12.

505. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - x}$.

a) Треугольная область, ограниченная точками (-2, 0), (2, 0) и (0, 3).

б) Кольцевая область, ограниченная двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат (0,0) и радиусами 5 и 10.

Рис. 73

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{15-x}$ содержит два квадратных корня. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: $x - 5 \ge 0$ и $15 - x \ge 0$.

Решим эту систему неравенств. Из первого неравенства получаем: $x \ge 5$. Из второго неравенства получаем: $15 \ge x$, что равносильно $x \le 15$.

Таким образом, переменная $x$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно: $x \ge 5$ и $x \le 15$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $5 \le x \le 15$. Это означает, что область определения функции представляет собой числовой отрезок от 5 до 15, включая концы.

Ответ: $[5; 15]$.

a)

На рисунке изображена область, представляющая собой треугольник. Для описания этой области с помощью неравенств, найдем уравнения прямых, которые являются границами этого треугольника. Вершины треугольника находятся в точках $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 3)$.

1. Нижняя граница треугольника лежит на оси абсцисс (ось $x$), уравнение которой $y=0$. Так как заштрихованная область находится выше этой оси, то первое неравенство: $y \ge 0$.

2. Правая сторона треугольника — это отрезок, соединяющий точки $(2, 0)$ и $(0, 3)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 0}{0 - 2} = -\frac{3}{2}$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, поэтому ее уравнение: $y = -\frac{3}{2}x + 3$. Область находится ниже и левее этой прямой, поэтому второе неравенство: $y \le -\frac{3}{2}x + 3$.

3. Левая сторона треугольника — это отрезок, соединяющий точки $(-2, 0)$ и $(0, 3)$. Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки. Угловой коэффициент $k = \frac{3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{3}{2}$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$, поэтому ее уравнение: $y = \frac{3}{2}x + 3$. Область находится ниже и правее этой прямой, поэтому третье неравенство: $y \le \frac{3}{2}x + 3$.

Эти три неравенства задают искомую область. Последние два неравенства $y \le -\frac{3}{2}x + 3$ и $y \le \frac{3}{2}x + 3$ можно объединить в одно с помощью модуля: $y \le 3 - \frac{3}{2}|x|$.

Ответ: Область задается системой неравенств $y \ge 0$ и $y \le 3 - \frac{3}{2}|x|$.

б)

На рисунке изображена область, представляющая собой кольцо (аннулюс) с центром в начале координат — точке $(0, 0)$. Эта область ограничена двумя концентрическими окружностями.

1. Внутренняя окружность имеет радиус $r_1 = 5$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$, то есть $x^2 + y^2 = 25$.

2. Внешняя окружность имеет радиус $r_2 = 10$. Ее уравнение $x^2 + y^2 = 10^2$, то есть $x^2 + y^2 = 100$.

Заштрихованная область включает все точки, которые находятся на внешней окружности или внутри нее, и одновременно на внутренней окружности или вне ее. Расстояние от любой точки $(x, y)$ до центра $(0, 0)$ равно $\sqrt{x^2 + y^2}$. Для точек заштрихованной области это расстояние должно быть не меньше радиуса внутренней окружности ($r_1=5$) и не больше радиуса внешней окружности ($r_2=10$).

Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 10$.

Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корня: $5^2 \le x^2 + y^2 \le 10^2$.

Ответ: $25 \le x^2 + y^2 \le 100$.