Номер 503, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

503. Одна из сторон острого угла проходит через точки $(0; 0)$ и $(3; 3)$, а другая — через точки $(0; -2)$ и $(3; -2)$. Задайте этот угол системой неравенств.

Для того чтобы задать угол системой неравенств, сначала необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью OY.

Первая сторона угла проходит через точки (0; 0) и (3; 3). Подставим координаты точки (0; 0) в уравнение прямой:

$0 = k \cdot 0 + b \implies b = 0$

Теперь уравнение имеет вид $y = kx$. Подставим координаты второй точки (3; 3):

$3 = k \cdot 3 \implies k = 1$

Следовательно, уравнение первой прямой: $y = x$.

Вторая сторона угла проходит через точки (0; -2) и (3; -2). Подставим координаты точки (0; -2) в уравнение прямой $y = kx + b$:

$-2 = k \cdot 0 + b \implies b = -2$

Теперь уравнение имеет вид $y = kx - 2$. Подставим координаты второй точки (3; -2):

$-2 = k \cdot 3 - 2 \implies 3k = 0 \implies k = 0$

Следовательно, уравнение второй прямой: $y = -2$.

Теперь у нас есть уравнения двух прямых, которые образуют угол: $y = x$ и $y = -2$. Угол — это область на плоскости, заключенная между лучами, лежащими на этих прямых. Чтобы задать эту область неравенствами, нужно определить, по какую сторону от каждой из прямых она находится.

Указано, что угол острый. Лучи, образующие угол, исходят из точки их пересечения (вершины угла). Найдем вершину, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x \\ y = -2\end{cases}\implies x = -2, y = -2$

Вершина угла находится в точке (-2; -2). Стороны угла — это лучи, идущие из этой точки и проходящие через (3; 3) и (3; -2) соответственно.

Для определения знаков в неравенствах возьмем любую точку, которая лежит внутри этого угла. Например, точка (0; -1) находится между лучами. Подставим ее координаты в уравнения прямых, заменяя знак равенства на знак неравенства.

Для первой прямой $y = x$: подставляем (0; -1). Получаем $-1$ и $0$. Так как $-1 < 0$, то для всех точек угла будет выполняться неравенство $y < x$.

Для второй прямой $y = -2$: подставляем (0; -1). Получаем $-1$ и $-2$. Так как $-1 > -2$, то для всех точек угла будет выполняться неравенство $y > -2$.

Таким образом, искомый острый угол задается системой из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y < x \\ y > -2\end{cases}$