Номер 506, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

506. Докажите, что верно неравенство

$6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0.$

Для доказательства данного неравенства необходимо упростить его левую часть.
Для начала раскроем скобки в левой части выражения:
$6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$
$6x \cdot x + 6x \cdot 8 - (5x \cdot x + 5x \cdot 17 - 27 \cdot x - 27 \cdot 17) > 0$
$6x^2 + 48x - (5x^2 + 85x - 27x - 459) > 0$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$6x^2 + 48x - (5x^2 + 58x - 459) > 0$
Теперь раскроем скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные, так как перед скобкой стоит знак "минус":
$6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0$
Снова приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0$
$x^2 - 10x + 459 > 0$
В результате мы получили квадратное неравенство. Чтобы доказать, что оно верно для любого значения $x$, рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 10x + 459$. Графиком этой функции является парабола.
Коэффициент при $x^2$ равен $1$, он положительный ($a = 1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 459$:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 459 = 100 - 1836 = -1736$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение $x^2 - 10x + 459 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y(x) = x^2 - 10x + 459$ не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола целиком лежит выше оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y(x)$ будет положительным.
Следовательно, $x^2 - 10x + 459 > 0$ при любом $x$.
Таким образом, исходное неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ также верно для любого действительного числа $x$.

Альтернативный способ (выделение полного квадрата):
Преобразуем выражение $x^2 - 10x + 459$:
$x^2 - 10x + 459 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 459 = (x-5)^2 - 25 + 459 = (x-5)^2 + 434$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x-5)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение выражения $(x-5)^2$ равно $0$. Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 434 = 434$.
Поскольку $434 > 0$, то и выражение $(x-5)^2 + 434$ всегда больше нуля.
Это доказывает, что неравенство верно.

Ответ: Неравенство $6x(x + 8) - (5x - 27)(x + 17) > 0$ доказано, так как оно сводится к неравенству $x^2 - 10x + 459 > 0$, которое верно для всех действительных $x$.