Номер 501, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

501. (Задача-исследование.) При каких значениях $k$ и $b$ система неравенств

$$ \begin{cases} y \leq 3x - 1, \\ y \geq kx + b \end{cases} $$

задаёт на координатной плоскости:

а) полосу; б) угол; в) прямую?

Может ли эта система не иметь решений?

1) Обсудите, какое множество точек задаёт на координатной плоскости каждое неравенство системы.

2) Выясните, при каких значениях $k$ и $b$ система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.

3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.

4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > kx + b \end{cases} $$

Первое неравенство $y \le 3x - 1$ задаёт на координатной плоскости замкнутую полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y = 3x - 1$. Угловой коэффициент этой прямой равен 3.

Второе неравенство $y > kx + b$ задаёт открытую полуплоскость, расположенную строго выше прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент этой прямой равен $k$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Геометрическая форма этого пересечения зависит от взаимного расположения прямых $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$, которое, в свою очередь, зависит от параметров $k$ и $b$.

Полоса на плоскости — это область, заключенная между двумя параллельными прямыми. Чтобы граничные прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 3, следовательно, $k$ тоже должен быть равен 3.

$$k = 3$$

При $k=3$ система неравенств принимает вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x + b \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x + b < y \le 3x - 1$.

Чтобы это неравенство имело решения и задавало полосу, верхняя граница для $y$ должна быть больше нижней границы. То есть, должно выполняться условие:

$$3x - 1 > 3x + b$$

Вычитая $3x$ из обеих частей, получаем:

$$-1 > b \quad \text{или} \quad b < -1$$

Таким образом, система задаёт полосу, если $k=3$ и $b < -1$. Границами полосы являются прямая $y = 3x - 1$ (включена в решение) и прямая $y = 3x + b$ (не включена в решение).

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать две параллельные прямые. Прямую $y = 3x - 1$ — сплошной линией, так как неравенство нестрогое. Прямую $y = 3x + b$ (где $b$ — любое число меньше -1, например, $b=-2$) — пунктирной линией, так как неравенство строгое. Решением будет область (полоса), расположенная между этими двумя прямыми, которую следует заштриховать.

Ответ: система задаёт полосу при $k = 3$ и $b < -1$.

Угол (как часть плоскости) образуется при пересечении двух непараллельных прямых. Чтобы граничные прямые $y = 3x - 1$ и $y = kx + b$ пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны.

$$k \ne 3$$

Если $k \ne 3$, прямые пересекаются в одной точке, деля плоскость на четыре части (угла). Пересечение двух полуплоскостей, заданных нашими неравенствами, как раз и будет одной из этих частей. При этом значение параметра $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет лишь на положение точки пересечения, но не на сам факт пересечения прямых.

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать сплошную прямую $y = 3x - 1$ и пересекающую её пунктирную прямую $y = kx + b$ (где $k \ne 3$, например, можно взять $k=1, b=1$, получив прямую $y = x+1$). Область, являющаяся решением, — это пересечение области ниже сплошной прямой и области выше пунктирной прямой. Эту область (угол) следует заштриховать.

Ответ: система задаёт угол при $k \ne 3$ и любом значении $b$.

Решением системы является множество точек $(x,y)$, для которых выполняется двойное неравенство $kx + b < y \le 3x - 1$.

Прямая — это одномерное множество точек. Однако, если множество решений не пустое, то для каждого значения $x$ (из некоторого диапазона) существует целый интервал возможных значений $y$, а именно $(kx+b, 3x-1]$. Такой интервал содержит бесконечно много точек, а значит, решение является двумерной областью (полосой или углом), а не одномерной линией.

Рассмотрим предельный случай, который мог бы дать прямую: когда верхняя и нижняя границы совпадают, то есть $kx+b = 3x-1$. Это возможно для всех $x$ только если $k=3$ и $b=-1$. В этом случае система неравенств примет вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x - 1 \end{cases} $$

Не существует такого числа $y$, которое одновременно было бы не больше некоторого значения и строго больше этого же значения. Следовательно, в этом случае система не имеет решений (решением является пустое множество).

Таким образом, данная система неравенств не может задавать на плоскости прямую ни при каких значениях $k$ и $b$.

Ответ: не существует таких значений $k$ и $b$, при которых система задаёт прямую.

Может ли эта система не иметь решений?

Да, система может не иметь решений. Это произойдет в том случае, если множество точек, удовлетворяющих первому неравенству, не пересекается с множеством точек, удовлетворяющих второму. То есть, полуплоскость $y \le 3x - 1$ не имеет общих точек с полуплоскостью $y > kx + b$.

Это возможно только если прямые параллельны ($k=3$), и прямая $y=3x+b$ расположена "выше" прямой $y=3x-1$ или совпадает с ней. Формально, это означает, что для любого $x$ должно выполняться $3x+b \ge 3x-1$.

$$3x+b \ge 3x-1$$

$$b \ge -1$$

Итак, система не имеет решений, когда $k=3$ и $b \ge -1$.

Пример, когда система не имеет решений: Пусть $k=3$ и $b=0$. Система имеет вид:

$$ \begin{cases} y \le 3x - 1 \\ y > 3x \end{cases} $$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого $y$, которое одновременно меньше или равно $3x-1$ и строго больше $3x$, ведь $3x > 3x-1$ для любого $x$.

Иллюстрация: На координатной плоскости следует нарисовать две параллельные прямые: сплошную $y = 3x - 1$ и пунктирную $y = 3x + b$ (где $b \ge -1$, например, $b=1$). Область решений первого неравенства находится на и ниже сплошной прямой, а область решений второго — строго выше пунктирной. Поскольку прямая $y=3x+b$ лежит не ниже прямой $y=3x-1$, эти две области не пересекаются.

Ответ: да, может. Система не имеет решений при $k=3$ и $b \ge -1$.