Номер 504, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

504. Решите уравнение:

а) $ (x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0 $;

б) $ (x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0 $.

а) $(x + 2)^2 + 9(x + 2) + 20 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(x + 2)$. Для его решения удобно использовать метод замены переменной.

Пусть $y = x + 2$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$y^2 + 9y + 20 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a=1$, $b=9$, $c=20$. Решим его через дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Если $y = -5$, то $x + 2 = -5$. Отсюда $x_1 = -5 - 2 = -7$.

2. Если $y = -4$, то $x + 2 = -4$. Отсюда $x_2 = -4 - 2 = -6$.

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа -7 и -6.

Ответ: -7; -6.

б) $(x - 5)^2 + 2(x - 5) - 63 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной, так как оно является квадратным относительно выражения $(x - 5)$.

Пусть $z = x - 5$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$z^2 + 2z - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1$, $b=2$, $c=-63$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни для $z$:

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

Теперь вернемся к переменной $x$ с помощью обратной замены.

1. Если $z = -9$, то $x - 5 = -9$. Отсюда $x_1 = -9 + 5 = -4$.

2. Если $z = 7$, то $x - 5 = 7$. Отсюда $x_2 = 7 + 5 = 12$.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа -4 и 12.

Ответ: -4; 12.