Номер 498, страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

498. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) $\begin{cases} x \ge 2, \\ y \ge 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < -1, \\ y > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 2, \\ y \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x \ge 2$ определяет на координатной плоскости множество точек, абсцисса которых больше или равна 2. Границей этой области является вертикальная прямая $x = 2$. Так как неравенство нестрогое (содержит знак "равно"), сама прямая $x=2$ является частью решения. Множество решений этого неравенства — это полуплоскость, расположенная справа от прямой $x=2$, включая эту прямую.

Второе неравенство $y \ge 1$ определяет множество точек, ордината которых больше или равна 1. Границей этой области является горизонтальная прямая $y = 1$. Неравенство также нестрогое, поэтому прямая $y=1$ включается в решение. Множество решений этого неравенства — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y=1$, включая эту прямую.

Решением системы является пересечение (общая часть) этих двух полуплоскостей. Геометрически это бесконечная область, имеющая форму угла, вершина которого находится в точке пересечения прямых $x=2$ и $y=1$, то есть в точке $(2, 1)$.

Ответ: Множество решений — это область, ограниченная слева прямой $x = 2$ и снизу прямой $y = 1$. Эта область представляет собой бесконечный угол с вершиной в точке $(2, 1)$, включая его стороны.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x < -1, \\ y > 0. \end{cases} $$

Первое неравенство $x < -1$ определяет множество точек, абсцисса которых строго меньше -1. Границей области является вертикальная прямая $x = -1$. Так как неравенство строгое (не содержит знака "равно"), сама прямая в решение не входит (на чертеже её изображают пунктирной линией). Решением является открытая полуплоскость слева от прямой $x = -1$.

Второе неравенство $y > 0$ определяет множество точек, ордината которых строго больше 0. Границей области является горизонтальная прямая $y = 0$ (ось абсцисс Ox). Неравенство строгое, поэтому сама ось Ox в решение не входит (также изображается пунктиром). Решением является открытая верхняя полуплоскость (все точки над осью Ox).

Решением системы является пересечение этих двух открытых полуплоскостей. Это часть второго координатного квадранта, которая находится левее прямой $x=-1$.

Ответ: Множество решений — это открытая бесконечная область, расположенная одновременно выше оси Ox и левее прямой $x = -1$. Границы области (прямая $x=-1$ и ось Ox) в решение не входят.

в)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases} $$

Упростим каждое неравенство в системе:

$$ \begin{cases} x \ge -2, \\ y \le 3. \end{cases} $$

Первое неравенство $x \ge -2$ определяет множество точек, абсцисса которых больше или равна -2. Границей является вертикальная прямая $x = -2$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая $x=-2$ является частью решения. Решением является полуплоскость справа от прямой $x = -2$, включая саму прямую.

Второе неравенство $y \le 3$ определяет множество точек, ордината которых меньше или равна 3. Границей является горизонтальная прямая $y = 3$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая $y=3$ является частью решения. Решением является полуплоскость ниже прямой $y=3$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это бесконечная область в форме угла с вершиной в точке пересечения прямых $x=-2$ и $y=3$, то есть в точке $(-2, 3)$.

Ответ: Множество решений — это область, ограниченная слева прямой $x = -2$ и сверху прямой $y = 3$. Эта область представляет собой бесконечный угол с вершиной в точке $(-2, 3)$, включая его стороны.