Страница 132 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

496. Является ли решением системы неравенств

$$\begin{cases} x^2 - 2y > 7, \\ 3x + y > 3 \end{cases}$$

пара чисел:

a) (4; 2);

б) (-5; 1);

в) (-2; -1);

г) (6; -5)?

Для того чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы неравенств, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из этой пары в каждое из неравенств. Если в результате получаются два верных числовых неравенства, то пара является решением системы.

Исходная система неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2y > 7 \\ 3x + y > 3 \end{cases} $

а) (4; 2)

Подставляем $x = 4$ и $y = 2$ в систему:

$ \begin{cases} 4^2 - 2(2) > 7 \\ 3(4) + 2 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 16 - 4 > 7 \\ 12 + 2 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 12 > 7 & \text{(верно)} \\ 14 > 3 & \text{(верно)} \end{cases} $

Оба неравенства верны, следовательно, пара (4; 2) является решением системы.

Ответ: да.

б) (-5; 1)

Подставляем $x = -5$ и $y = 1$ в систему:

$ \begin{cases} (-5)^2 - 2(1) > 7 \\ 3(-5) + 1 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 25 - 2 > 7 \\ -15 + 1 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 23 > 7 & \text{(верно)} \\ -14 > 3 & \text{(неверно)} \end{cases} $

Так как второе неравенство неверно, пара (-5; 1) не является решением системы.

Ответ: нет.

в) (-2; -1)

Подставляем $x = -2$ и $y = -1$ в систему:

$ \begin{cases} (-2)^2 - 2(-1) > 7 \\ 3(-2) + (-1) > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 4 + 2 > 7 \\ -6 - 1 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 6 > 7 & \text{(неверно)} \\ -7 > 3 & \text{(неверно)} \end{cases} $

Так как первое неравенство неверно, пара (-2; -1) не является решением системы.

Ответ: нет.

г) (6; -5)

Подставляем $x = 6$ и $y = -5$ в систему:

$ \begin{cases} 6^2 - 2(-5) > 7 \\ 3(6) + (-5) > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 36 + 10 > 7 \\ 18 - 5 > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 46 > 7 & \text{(верно)} \\ 13 > 3 & \text{(верно)} \end{cases} $

Оба неравенства верны, следовательно, пара (6; -5) является решением системы.

Ответ: да.

497. (Для работы в парах.) Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $ \begin{cases} y \ge x - 3, \\ y \le -x + 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y < 4, \\ x + y < 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} -2x + y < -1, \\ x - y > 3; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x + y \ge 3, \\ x - y < 2. \end{cases} $

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли показано множество решений системы неравенств в каждом случае.

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge x - 3 \\ y \le -x + 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую для первого неравенства: $y = x - 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), линия рисуется сплошной. Неравенству $y \ge x - 3$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой и выше нее.

2. Построим граничную прямую для второго неравенства: $y = -x + 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), линия рисуется сплошной. Неравенству $y \le -x + 3$ удовлетворяют все точки, лежащие на прямой и ниже нее.

3. Множество решений системы — это пересечение областей, найденных в пунктах 1 и 2. Это область, расположенная одновременно выше (и на) прямой $y = x - 3$ и ниже (и на) прямой $y = -x + 3$. Прямые пересекаются в точке $(3, 0)$, так как $x - 3 = -x + 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3$, и $y = 3 - 3 = 0$.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область (угол), ограниченная справа двумя лучами $y = x - 3$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения $(3, 0)$. Штриховкой покрывается вся область слева от этих лучей, включая сами лучи.

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 2y < 4 \\ x + y < 3 \end{cases} $$ Для удобства построения выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y > \frac{1}{2}x - 2 \\ y < -x + 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую для первого неравенства: $y = \frac{1}{2}x - 2$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(4, 0)$. Так как неравенство строгое ($ > $), линия рисуется пунктирной. Неравенству $y > \frac{1}{2}x - 2$ удовлетворяют все точки, лежащие выше этой прямой.

2. Построим граничную прямую для второго неравенства: $y = -x + 3$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Так как неравенство строгое ($ < $), линия рисуется пунктирной. Неравенству $y < -x + 3$ удовлетворяют все точки, лежащие ниже этой прямой.

3. Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. Найдем точку пересечения прямых: $\frac{1}{2}x - 2 = -x + 3 \implies \frac{3}{2}x = 5 \implies x = \frac{10}{3}$. Тогда $y = - \frac{10}{3} + 3 = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область (угол), ограниченная справа двумя лучами $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = -x + 3$, исходящими из точки их пересечения $(\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$. Штриховкой покрывается вся область слева от этих лучей, не включая сами лучи (границы пунктирные).

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} -2x + y < -1 \\ x - y > 3 \end{cases} $$ Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y < 2x - 1 \\ y < x - 3 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую $y = 2x - 1$. Она проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

2. Построим граничную прямую $y = x - 3$. Она проходит через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$. Неравенство строгое ($ < $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость ниже этой прямой.

3. Множество решений системы — это область, которая находится одновременно ниже обеих прямых. Найдем их точку пересечения: $2x - 1 = x - 3 \implies x = -2$. Тогда $y = -2 - 3 = -5$. Точка пересечения — $(-2, -5)$. Решением будет являться область под "нижней" из двух границ.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область, ограниченная сверху ломаной линией, состоящей из двух лучей: $y=2x-1$ для $x \le -2$ и $y=x-3$ для $x \ge -2$. Вершина ломаной находится в точке $(-2, -5)$. Штриховкой покрывается вся область под этой ломаной, не включая саму ломаную (границы пунктирные).

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ x - y < 2 \end{cases} $$ Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y \ge -x + 3 \\ y > x - 2 \end{cases} $$ 1. Построим граничную прямую $y = -x + 3$. Она проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Неравенство нестрогое ($ \ge $), поэтому линия сплошная. Решением является полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую.

2. Построим граничную прямую $y = x - 2$. Она проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Неравенство строгое ($ > $), поэтому линия пунктирная. Решением является полуплоскость выше этой прямой.

3. Множество решений системы — это область, которая находится одновременно выше обеих прямых. Найдем их точку пересечения: $-x + 3 = x - 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$. Тогда $y = 2.5 - 2 = 0.5$. Точка пересечения — $(2.5, 0.5)$. Решением будет являться область над "верхней" из двух границ.

Ответ: Множеством решений является бесконечная область, ограниченная снизу ломаной линией, состоящей из двух лучей: $y = -x + 3$ для $x \le 2.5$ (сплошной) и $y = x - 2$ для $x \ge 2.5$ (пунктирный). Вершина ломаной находится в точке $(2.5, 0.5)$. Штриховкой покрывается вся область над этой ломаной. Луч $y = -x + 3$ при $x \le 2.5$ включается в решение, а луч $y = x - 2$ при $x \ge 2.5$ не включается.

1) Обсудите, к какому виду удобно привести неравенства системы в заданиях б), в) и г).

Для графического решения систем линейных неравенств с двумя переменными ($x$ и $y$) удобнее всего привести каждое неравенство к виду, где переменная $y$ выражена через $x$. То есть, к одному из следующих видов: $y < kx + b$, $y > kx + b$, $y \le kx + b$ или $y \ge kx + b$.

Во-первых, такая форма удобна, потому что выражение $y = kx + b$ является уравнением прямой в виде с угловым коэффициентом, который легко построить на координатной плоскости. Коэффициент $b$ показывает точку пересечения с осью $OY$, а коэффициент $k$ (угловой коэффициент) показывает наклон прямой.

Во-вторых, этот вид позволяет однозначно определить, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит координатную плоскость, нужно заштриховать. Если неравенство имеет вид $y > kx + b$ или $y \ge kx + b$, то решением является полуплоскость, расположенная выше граничной прямой. Если же неравенство имеет вид $y < kx + b$ или $y \le kx + b$, то решением является полуплоскость, расположенная ниже граничной прямой.

Применение этого подхода к заданиям:
Для б): $x - 2y < 4 \implies -2y < -x+4 \implies y > \frac{1}{2}x - 2$ и $x+y < 3 \implies y < -x+3$.
Для в): $-2x + y < -1 \implies y < 2x - 1$ и $x-y > 3 \implies -y > -x+3 \implies y < x - 3$.
Для г): $x + y \ge 3 \implies y \ge -x + 3$ и $x-y < 2 \implies -y < -x+2 \implies y > x - 2$.

Ответ: Неравенства в заданиях б), в) и г) удобно привести к виду, где переменная $y$ выражена через $x$ (например, $y > kx+b$ или $y \le kx+b$), так как это упрощает построение граничных прямых и определение нужной полуплоскости.

498. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) $\begin{cases} x \ge 2, \\ y \ge 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < -1, \\ y > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge 2, \\ y \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x \ge 2$ определяет на координатной плоскости множество точек, абсцисса которых больше или равна 2. Границей этой области является вертикальная прямая $x = 2$. Так как неравенство нестрогое (содержит знак "равно"), сама прямая $x=2$ является частью решения. Множество решений этого неравенства — это полуплоскость, расположенная справа от прямой $x=2$, включая эту прямую.

Второе неравенство $y \ge 1$ определяет множество точек, ордината которых больше или равна 1. Границей этой области является горизонтальная прямая $y = 1$. Неравенство также нестрогое, поэтому прямая $y=1$ включается в решение. Множество решений этого неравенства — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y=1$, включая эту прямую.

Решением системы является пересечение (общая часть) этих двух полуплоскостей. Геометрически это бесконечная область, имеющая форму угла, вершина которого находится в точке пересечения прямых $x=2$ и $y=1$, то есть в точке $(2, 1)$.

Ответ: Множество решений — это область, ограниченная слева прямой $x = 2$ и снизу прямой $y = 1$. Эта область представляет собой бесконечный угол с вершиной в точке $(2, 1)$, включая его стороны.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x < -1, \\ y > 0. \end{cases} $$

Первое неравенство $x < -1$ определяет множество точек, абсцисса которых строго меньше -1. Границей области является вертикальная прямая $x = -1$. Так как неравенство строгое (не содержит знака "равно"), сама прямая в решение не входит (на чертеже её изображают пунктирной линией). Решением является открытая полуплоскость слева от прямой $x = -1$.

Второе неравенство $y > 0$ определяет множество точек, ордината которых строго больше 0. Границей области является горизонтальная прямая $y = 0$ (ось абсцисс Ox). Неравенство строгое, поэтому сама ось Ox в решение не входит (также изображается пунктиром). Решением является открытая верхняя полуплоскость (все точки над осью Ox).

Решением системы является пересечение этих двух открытых полуплоскостей. Это часть второго координатного квадранта, которая находится левее прямой $x=-1$.

Ответ: Множество решений — это открытая бесконечная область, расположенная одновременно выше оси Ox и левее прямой $x = -1$. Границы области (прямая $x=-1$ и ось Ox) в решение не входят.

в)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ y - 3 \le 0. \end{cases} $$

Упростим каждое неравенство в системе:

$$ \begin{cases} x \ge -2, \\ y \le 3. \end{cases} $$

Первое неравенство $x \ge -2$ определяет множество точек, абсцисса которых больше или равна -2. Границей является вертикальная прямая $x = -2$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая $x=-2$ является частью решения. Решением является полуплоскость справа от прямой $x = -2$, включая саму прямую.

Второе неравенство $y \le 3$ определяет множество точек, ордината которых меньше или равна 3. Границей является горизонтальная прямая $y = 3$. Неравенство нестрогое, поэтому прямая $y=3$ является частью решения. Решением является полуплоскость ниже прямой $y=3$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это бесконечная область в форме угла с вершиной в точке пересечения прямых $x=-2$ и $y=3$, то есть в точке $(-2, 3)$.

Ответ: Множество решений — это область, ограниченная слева прямой $x = -2$ и сверху прямой $y = 3$. Эта область представляет собой бесконечный угол с вершиной в точке $(-2, 3)$, включая его стороны.

499. Задайте системой неравенств:

а) первую координатную четверть (включая оси координат);

б) третью координатную четверть (включая оси координат).

а) Первая координатная четверть — это область на координатной плоскости, в которой для любой точки с координатами $(x; y)$ абсцисса $x$ и ордината $y$ положительны. Условие «включая оси координат» означает, что мы также рассматриваем точки, лежащие на самих осях. Ось ординат (OY) задается уравнением $x=0$, а ось абсцисс (OX) — уравнением $y=0$. Таким образом, чтобы включить оси, необходимо использовать нестрогие неравенства. Для первой четверти, включая оси, абсцисса должна быть неотрицательной ($x \ge 0$), и ордината также должна быть неотрицательной ($y \ge 0$). Эти два условия должны выполняться одновременно, что задается системой неравенств.
Ответ: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $

б) Третья координатная четверть — это область на координатной плоскости, в которой для любой точки с координатами $(x; y)$ абсцисса $x$ и ордината $y$ отрицательны. Условие «включая оси координат» означает, что мы также рассматриваем точки, лежащие на осях. Это значит, что абсцисса должна быть неположительной ($x \le 0$), и ордината также должна быть неположительной ($y \le 0$). Эти два условия должны выполняться одновременно, что задается следующей системой неравенств.
Ответ: $ \begin{cases} x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases} $