Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

517. Докажите, что уравнение имеет единственное решение:

а) $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$;

б) $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$.

а) Чтобы доказать, что данное уравнение имеет единственное решение, преобразуем его, выделив полные квадраты. Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$: $(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 0$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид: $(x+1)^2 + y^2 = 0$.
В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, находим: $$ \begin{cases} x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \\ y = 0 \end{cases} $$ Таким образом, уравнение имеет только одно решение (пару чисел) $x = -1$ и $y = 0$.
Ответ: единственное решение уравнения – это пара чисел $(-1; 0)$.

б) Преобразуем второе уравнение аналогичным образом, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Исходное уравнение: $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и представим свободный член $5$ в виде суммы $1+4$:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$.
Первая скобка является полным квадратом разности $(x-1)^2$, а вторая — полным квадратом суммы $(y+2)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$.
Как и в предыдущем пункте, сумма двух неотрицательных выражений $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$ равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Получаем систему: $$ \begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases} $$ Решая систему, получаем: $$ \begin{cases} x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ y+2 = 0 \Rightarrow y = -2 \end{cases} $$ Следовательно, уравнение имеет единственное решение $x = 1$ и $y = -2$.
Ответ: единственное решение уравнения – это пара чисел $(1; -2)$.

518. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых $y=x+5$ и $y=x-5$;

б) окружность $x^2+y^2=4$ и пара прямых $y=-3$ и $y=3$;

в) гипербола $xy=6$ и окружность $x^2+y^2=1$.

а) Чтобы составить одно уравнение, графиком которого является объединение нескольких графиков, заданных уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$, ..., $F_n(x, y) = 0$, нужно составить уравнение вида $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot ... \cdot F_n(x, y) = 0$.

В данном случае у нас есть два графика — пара прямых $y = x + 5$ и $y = x - 5$.

Сначала представим уравнения этих прямых в виде $F(x,y)=0$:

1. $y = x + 5 \Rightarrow y - x - 5 = 0$

2. $y = x - 5 \Rightarrow y - x + 5 = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений и приравняем произведение к нулю:

$(y - x - 5)(y - x + 5) = 0$

Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 5$:

$((y - x) - 5)((y - x) + 5) = 0$

$(y - x)^2 - 5^2 = 0$

$(y - x)^2 - 25 = 0$

Ответ: $(y - x)^2 - 25 = 0$.

б) Здесь требуется объединить три графика: окружность $x^2 + y^2 = 4$ и две прямые $y = -3$ и $y = 3$.

Приведем все три уравнения к виду $F(x,y)=0$:

1. Для окружности: $x^2 + y^2 - 4 = 0$

2. Для первой прямой: $y = -3 \Rightarrow y + 3 = 0$

3. Для второй прямой: $y = 3 \Rightarrow y - 3 = 0$

Теперь перемножим левые части этих трех уравнений:

$(x^2 + y^2 - 4)(y + 3)(y - 3) = 0$

Можно упростить произведение, соответствующее двум прямым:

$(y + 3)(y - 3) = y^2 - 9$

Подставим это в общее уравнение:

$(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$

Графиком этого уравнения является объединение окружности $x^2+y^2=4$ и прямых $y=3$ и $y=-3$.

Ответ: $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$.

в) В этом пункте нужно объединить гиперболу $xy = 6$ и окружность $x^2 + y^2 = 1$.

Представим оба уравнения в виде $F(x,y)=0$:

1. Для гиперболы: $xy - 6 = 0$

2. Для окружности: $x^2 + y^2 - 1 = 0$

Перемножим левые части этих уравнений:

$(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$

Данное уравнение является искомым. Точка $(x, y)$ удовлетворяет этому уравнению, если она принадлежит либо гиперболе ($xy-6=0$), либо окружности ($x^2+y^2-1=0$).

Ответ: $(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$.

519. Постройте график уравнения:

а) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0;$

б) $y^2 - x^4 = 0.$

а) Для того чтобы построить график уравнения $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$, приведем его к каноническому виду уравнения окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Для этого сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

Исходное уравнение:
$x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$

Выделяем полные квадраты для $x$ и $y$:
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 5 = 0$
Формулы полного квадрата: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае для $x$: $a=x$, $b=1$. Для $y$: $a=y$, $b=2$.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$

Упрощаем выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$

Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 0$, то есть $R=0$. Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку.
Равенство нулю возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
$(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$(y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
Следовательно, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами $(1, 2)$.

Ответ: Графиком уравнения является точка $(1, 2)$.

б) Рассмотрим уравнение $y^2 - x^4 = 0$.

Преобразуем это уравнение:
$y^2 = x^4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sqrt{y^2} = \sqrt{x^4}$
$|y| = x^2$

Это уравнение распадается на два:
1. $y = x^2$
2. $y = -x^2$

Графиком уравнения $y = x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.
Графиком уравнения $y = -x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.
Таким образом, график исходного уравнения $y^2 - x^4 = 0$ представляет собой объединение этих двух парабол.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: $y = x^2$ и $y = -x^2$.

520. Постройте график уравнения:

a) $\frac{y-x}{x-2} = 0;$

б) $\frac{y-x^2}{x^2-1} = 0;$

в) $\frac{x^2+y^2-16}{y^2-4} = 0;$

г) $\frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2} = 0.$

Для построения графика каждого уравнения мы воспользуемся общим правилом: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это означает, что для каждого случая мы найдем геометрическое место точек, задаваемое уравнением "числитель = 0", а затем исключим из него точки, для которых "знаменатель = 0".

а) $\frac{y - x}{x - 2} = 0$

1. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти основное уравнение графика:
$y - x = 0 \implies y = x$.
Это уравнение задает прямую линию, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

2. Теперь найдем точки, которые необходимо исключить, приравняв знаменатель к нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Это условие означает, что мы должны исключить из нашего графика все точки, у которых абсцисса равна 2.

3. Найдем конкретную точку на прямой $y=x$, которую нужно исключить. Подставим $x = 2$ в уравнение прямой:
$y = 2$.
Таким образом, из графика прямой $y=x$ необходимо исключить (выколоть) точку с координатами $(2, 2)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(2, 2)$.

б) $\frac{y - x^2}{x^2 - 1} = 0$

1. Уравнение графика получаем из числителя:
$y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.
Это уравнение стандартной параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2. Условие на знаменатель:
$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Мы должны исключить из параболы точки, у которых абсциссы равны 1 и -1.

3. Найдем ординаты выкалываемых точек:
При $x = 1$: $y = 1^2 = 1$. Исключаем точку $(1, 1)$.
При $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Исключаем точку $(-1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

в) $\frac{x^2 + y^2 - 16}{y^2 - 4} = 0$

1. Уравнение графика из числителя:
$x^2 + y^2 - 16 = 0 \implies x^2 + y^2 = 16$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Условие на знаменатель:
$y^2 - 4 \neq 0 \implies y^2 \neq 4 \implies y \neq 2$ и $y \neq -2$.
Необходимо исключить из окружности точки, у которых ординаты равны 2 или -2.

3. Найдем абсциссы выкалываемых точек, подставив значения $y$ в уравнение окружности:
При $y = 2$: $x^2 + 2^2 = 16 \implies x^2 + 4 = 16 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2\sqrt{3}, 2)$ и $(-2\sqrt{3}, 2)$.
При $y = -2$: $x^2 + (-2)^2 = 16 \implies x^2 + 4 = 16 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$. Исключаются точки $(2\sqrt{3}, -2)$ и $(-2\sqrt{3}, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 16$ с четырьмя выколотыми точками: $(2\sqrt{3}, 2)$, $(-2\sqrt{3}, 2)$, $(2\sqrt{3}, -2)$ и $(-2\sqrt{3}, -2)$.

г) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0$

1. Уравнение графика из числителя:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.

2. Условие на знаменатель:
$x^2 - y^2 \neq 0 \implies x^2 \neq y^2 \implies y \neq x$ и $y \neq -x$.
Это означает, что мы должны исключить точки пересечения окружности с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

3. Найдем точки пересечения и исключим их:
Пересечение с прямой $y=x$:
$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как $y=x$, исключаются точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Пересечение с прямой $y=-x$:
$x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Исключаются точки $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 1$ с четырьмя выколотыми точками: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

521. При каком значении a окружность $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$ проходит через точку:

а) A(2; 3);

б) B(7; -1);

в) C(-2; 7);

г) D(1; 5)?

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В данном случае уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-3)^2 = 16$. Центр окружности находится в точке $(a, 3)$, а ее радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Чтобы найти значение $a$, при котором окружность проходит через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки $(x, y)$ в уравнение окружности и решить полученное уравнение относительно $a$.

а)

Подставим координаты точки $A(2; 3)$ в уравнение окружности:

$(2 - a)^2 + (3 - 3)^2 = 16$

$(2 - a)^2 + 0^2 = 16$

$(2 - a)^2 = 16$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $2 - a = 4 \implies a = 2 - 4 \implies a = -2$

2) $2 - a = -4 \implies a = 2 + 4 \implies a = 6$

Ответ: $a = -2$ или $a = 6$.

б)

Подставим координаты точки $B(7; -1)$ в уравнение окружности:

$(7 - a)^2 + (-1 - 3)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + (-4)^2 = 16$

$(7 - a)^2 + 16 = 16$

$(7 - a)^2 = 0$

$7 - a = 0$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

в)

Подставим координаты точки $C(-2; 7)$ в уравнение окружности:

$(-2 - a)^2 + (7 - 3)^2 = 16$

$(-2 - a)^2 + 4^2 = 16$

$(-(2 + a))^2 + 16 = 16$

$(2 + a)^2 + 16 = 16$

$(2 + a)^2 = 0$

$2 + a = 0$

$a = -2$

Ответ: $a = -2$.

г)

Подставим координаты точки $D(1; 5)$ в уравнение окружности:

$(1 - a)^2 + (5 - 3)^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 2^2 = 16$

$(1 - a)^2 + 4 = 16$

$(1 - a)^2 = 12$

Из этого уравнения следует два возможных случая:

1) $1 - a = \sqrt{12} \implies 1 - a = 2\sqrt{3} \implies a = 1 - 2\sqrt{3}$

2) $1 - a = -\sqrt{12} \implies 1 - a = -2\sqrt{3} \implies a = 1 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $a = 1 - 2\sqrt{3}$ или $a = 1 + 2\sqrt{3}$.

522. Найдите целые решения уравнения:

а) $x^2 - y^2 = 5$;

б) $x^2 - y^2 = 8$.

а) $x^2 - y^2 = 5$

Данное уравнение является диофантовым уравнением. Для его решения в целых числах разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(x - y)(x + y) = 5$

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 5. Следовательно, $(x - y)$ и $(x + y)$ — это пара целых делителей числа 5.

Целыми делителями числа 5 являются: $1, -1, 5, -5$. Рассмотрим все возможные комбинации пар множителей, дающих в произведении 5:

1. Пара множителей (1, 5). Это приводит к системе уравнений: $x - y = 1$ и $x + y = 5$. Сложив эти два уравнения, получаем: $(x - y) + (x + y) = 1 + 5$, что дает $2x = 6$, и, следовательно, $x = 3$. Подставив значение $x = 3$ во второе уравнение, находим $y$: $3 + y = 5$, откуда $y = 2$. Получаем первое целочисленное решение: $(3, 2)$.

2. Пара множителей (5, 1). Система: $x - y = 5$ и $x + y = 1$. Складывая уравнения, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставляя $x = 3$ во второе уравнение, находим $y$: $3 + y = 1$, откуда $y = -2$. Получаем второе решение: $(3, -2)$.

3. Пара множителей (-1, -5). Система: $x - y = -1$ и $x + y = -5$. Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя $x = -3$ во второе уравнение, находим $y$: $-3 + y = -5$, откуда $y = -2$. Получаем третье решение: $(-3, -2)$.

4. Пара множителей (-5, -1). Система: $x - y = -5$ и $x + y = -1$. Складывая уравнения, получаем $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставляя $x = -3$ во второе уравнение, находим $y$: $-3 + y = -1$, откуда $y = 2$. Получаем четвертое решение: $(-3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -2)$, $(-3, -2)$, $(-3, 2)$.

б) $x^2 - y^2 = 8$

Аналогично предыдущему пункту, разложим левую часть уравнения на множители:

$(x - y)(x + y) = 8$

Множители $(x - y)$ и $(x + y)$ являются целыми делителями числа 8. Обозначим $a = x - y$ и $b = x + y$. Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем: $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$. Чтобы $x$ и $y$ были целыми числами, суммы $a+b$ и $b-a$ должны быть четными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Произведение $ab = 8$ является четным числом, поэтому множители $a$ и $b$ не могут быть оба нечетными. Следовательно, они оба должны быть четными.

Найдем все пары четных делителей числа 8, произведение которых равно 8:

1. Пара множителей (2, 4). Система: $x - y = 2$ и $x + y = 4$. Складываем уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Подставляем $x=3$ во второе уравнение: $3 + y = 4 \implies y = 1$. Решение: $(3, 1)$.

2. Пара множителей (4, 2). Система: $x - y = 4$ и $x + y = 2$. Складываем уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Подставляем $x=3$ во второе уравнение: $3 + y = 2 \implies y = -1$. Решение: $(3, -1)$.

3. Пара множителей (-2, -4). Система: $x - y = -2$ и $x + y = -4$. Складываем уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$. Подставляем $x=-3$ во второе уравнение: $-3 + y = -4 \implies y = -1$. Решение: $(-3, -1)$.

4. Пара множителей (-4, -2). Система: $x - y = -4$ и $x + y = -2$. Складываем уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$. Подставляем $x=-3$ во второе уравнение: $-3 + y = -2 \implies y = 1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, -1)$, $(-3, 1)$.

523. Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y + x + x^2 = 0, \\ x - y = 10; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 - 4x + 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x^2 - 14; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y = 8, \\ (x + 1)^2 + y^2 = 81; \end{cases} $

е) $ \begin{cases} y = -x^2 + 4, \\ y = |x|. \end{cases} $

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в системе и найти координаты точек их пересечения.

а)
Система уравнений: $ \begin{cases} y + x + x^2 = 0 \\ x - y = 10 \end{cases} $
1. Преобразуем первое уравнение: $y = -x^2 - x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$. $y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, 0.25)$.
2. Преобразуем второе уравнение: $y = x - 10$. Это уравнение прямой. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, -10)$ и $(10, 0)$.
3. Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Видно, что графики пересекаются в двух точках.
Ответ: $(\frac{-2+\sqrt{44}}{2}, \frac{-22+\sqrt{44}}{2})$, $(\frac{-2-\sqrt{44}}{2}, \frac{-22-\sqrt{44}}{2})$ или, упрощая, $(-1+\sqrt{11}, -11+\sqrt{11})$, $(-1-\sqrt{11}, -11-\sqrt{11})$.

б)
Система уравнений: $ \begin{cases} (x - 2)^2 + y^2 = 9 \\ y = x^2 - 4x + 4 \end{cases} $
1. Первое уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = 3^2$ — это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R=3$.
2. Второе уравнение $y = x^2 - 4x + 4$ можно представить в виде $y = (x - 2)^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(2, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
3. Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы совпадает с центром окружности. Парабола, выходя из центра, пересекает окружность в двух точках, симметричных относительно оси $x=2$.
Ответ: $(2 + \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$, $(2 - \sqrt{\frac{\sqrt{37}-1}{2}}, \frac{\sqrt{37}-1}{2})$.

в)
Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 2x^2 - 14 \end{cases} $
1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 5^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=5$.
2. Второе уравнение $y = 2x^2 - 14$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, -14)$ и ветвями, направленными вверх.
3. Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы находится ниже окружности. Парабола симметрична относительно оси OY, как и окружность. Графики пересекаются в четырех точках.
Ответ: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$, $(-\frac{\sqrt{19}}{2}, -4.5)$.

г)
Система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $
1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = (\sqrt{10})^2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=\sqrt{10} \approx 3.16$.
2. Второе уравнение $y = 3/x$ — это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
3. Построим графики окружности и гиперболы. Графики симметричны относительно начала координат и пересекаются в четырех точках.
Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

д)
Система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 8 \\ (x + 1)^2 + y^2 = 81 \end{cases} $
1. Первое уравнение $y = -x + 8$ — это уравнение прямой. Для построения можно взять точки $(0, 8)$ и $(8, 0)$.
2. Второе уравнение $(x + 1)^2 + y^2 = 9^2$ — это уравнение окружности с центром в точке $(-1, 0)$ и радиусом $R=9$.
3. Построим графики прямой и окружности. Они пересекаются в двух точках.
Ответ: $(-1, 9)$, $(8, 0)$.

е)
Система уравнений: $ \begin{cases} y = -x^2 + 4 \\ y = |x| \end{cases} $
1. Первое уравнение $y = -x^2 + 4$ — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз.
2. Второе уравнение $y = |x|$ — это график, состоящий из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
3. Построим графики параболы и модуля. Оба графика симметричны относительно оси OY. Они пересекаются в двух точках.
Ответ: $(\frac{\sqrt{17}-1}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$, $(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.

524. Изобразив схематически графики уравнений, определите, имеет ли решения система уравнений и сколько:

a) $\begin{cases} x^2 - y + 11 = 0, \\ y + x^2 = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1, \\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = |x|, \\ \frac{1}{2}x^3 - y = 0. \end{cases}$

а)Преобразуем уравнения системы, чтобы определить вид их графиков.Первое уравнение $x^2 - y + 11 = 0$ можно представить в виде $y = x^2 + 11$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 11)$. Все точки этой параболы имеют ординату $y \ge 11$.Второе уравнение $y + x^2 = 4$ можно представить в виде $y = -x^2 + 4$. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. Все точки этой параболы имеют ординату $y \le 4$.Схематически, одна парабола расположена значительно выше другой. Поскольку минимальное значение $y$ для первой параболы равно $11$, а максимальное значение $y$ для второй параболы равно $4$, у графиков нет общих точек. Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б)Рассмотрим каждое уравнение системы.Первое уравнение $(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 1$ является уравнением окружности с центром в точке $C_1(-3, -4)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{1} = 1$.Второе уравнение $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$ является уравнением окружности с центром в точке $C_2(2, 1)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{4} = 2$.Решения системы соответствуют точкам пересечения этих двух окружностей. Чтобы определить их количество, найдем расстояние $d$ между центрами окружностей и сравним его с суммой их радиусов.Расстояние между центрами $C_1$ и $C_2$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.Значение $\sqrt{50} \approx 7.07$.Сумма радиусов окружностей: $r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$.Так как расстояние между центрами $d = \sqrt{50}$ больше суммы радиусов $r_1 + r_2 = 3$, окружности не пересекаются и не касаются. Они расположены отдельно друг от друга. Таким образом, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

в)Рассмотрим графики уравнений системы.Первое уравнение $y = |x|$ задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.Второе уравнение $\frac{1}{2}x^3 - y = 0$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}x^3$. Это график кубической функции, который проходит через начало координат.Точки решения системы — это точки пересечения этих двух графиков.Заметим, что точка $(0, 0)$ является решением, так как удовлетворяет обоим уравнениям: $0 = |0|$ и $\frac{1}{2}(0)^3 - 0 = 0$.Для нахождения других решений рассмотрим два случая:1. При $x > 0$, система уравнений принимает вид: $y = x$ и $y = \frac{1}{2}x^3$. Приравнивая правые части, получаем $x = \frac{1}{2}x^3$. Так как $x > 0$, можно разделить обе части на $x$, получив $1 = \frac{1}{2}x^2$, откуда $x^2 = 2$. Положительным решением является $x = \sqrt{2}$. Соответствующее значение $y$ равно $y = x = \sqrt{2}$. Таким образом, мы нашли вторую точку пересечения $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.2. При $x < 0$, система уравнений принимает вид: $y = -x$ и $y = \frac{1}{2}x^3$. Приравнивая правые части, получаем $-x = \frac{1}{2}x^3$, или $\frac{1}{2}x^3 + x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(\frac{1}{2}x^2 + 1) = 0$. Так как выражение в скобках $\frac{1}{2}x^2 + 1$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), единственным вещественным решением этого уравнения является $x = 0$. Но это значение не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этой области пересечений нет.Таким образом, графики уравнений пересекаются ровно в двух точках.
Ответ: 2 решения.

525. Сколько решений может иметь система уравнений

$\begin{cases}x^2 + y^2 = r^2, \\y = -x^2 + 4,\end{cases}$

где $r$ — положительное число?

Для определения количества решений данной системы уравнений, рассмотрим ее аналитически. Система имеет вид:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\y = -x^2 + 4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 4 - y$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $4 - y \ge 0$, то есть $y \le 4$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:

$(4 - y) + y^2 = r^2$

Приведем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$y^2 - y + (4 - r^2) = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения, которые удовлетворяют условию $y \le 4$. Каждому такому корню $y < 4$ будет соответствовать два значения $x$ ($x = \pm\sqrt{4-y}$), а корню $y=4$ будет соответствовать одно значение $x=0$.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - r^2) = 1 - 16 + 4r^2 = 4r^2 - 15$

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения параметра $r > 0$.

1. Если $D < 0$, то уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.$4r^2 - 15 < 0 \implies 4r^2 < 15 \implies r^2 < \frac{15}{4}$.С учетом $r>0$, получаем $0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}$. В этом случае система имеет 0 решений.

2. Если $D = 0$, то уравнение для $y$ имеет один действительный корень.$4r^2 - 15 = 0 \implies r = \frac{\sqrt{15}}{2}$.Корень $y = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.Этот корень удовлетворяет условию $y \le 4$. Найдем соответствующие значения $x$:$x^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$.Система имеет 2 решения.

3. Если $D > 0$, то уравнение для $y$ имеет два различных действительных корня. Это происходит при $r > \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$.
Здесь нужно проанализировать, сколько из этих корней удовлетворяет условию $y \le 4$.

а) Рассмотрим случай, когда один из корней равен 4. Подставим $y=4$ в уравнение $y^2 - y + (4 - r^2) = 0$:$4^2 - 4 + (4 - r^2) = 0 \implies 16 - 4 + 4 - r^2 = 0 \implies 16 - r^2 = 0$.Отсюда $r=4$ (так как $r>0$).При $r=4$ уравнение для $y$ имеет вид $y^2 - y - 12 = 0$, его корни $y_1 = -3$ и $y_2 = 4$.- Для $y_1 = -3$: $x^2 = 4 - (-3) = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}$ (два решения).- Для $y_2 = 4$: $x^2 = 4 - 4 = 0 \implies x = 0$ (одно решение).Всего получаем $2+1 = 3$ решения. Таким образом, при $r=4$ система имеет 3 решения.

б) Теперь рассмотрим интервал $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$.В этом случае $D > 0$ и $16 - r^2 > 0$. Парабола $f(y) = y^2 - y + (4 - r^2)$ имеет ветви вверх, а ее значение в точке $y=4$ положительно: $f(4) = 16-r^2 > 0$. Вершина параболы находится в точке $y=1/2$. Поскольку $1/2 < 4$ и $f(4)>0$, оба корня $y_1$ и $y_2$ будут меньше 4.Каждый из этих двух различных корней даст по два различных значения $x$.Итого $2+2 = 4$ решения. Таким образом, при $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$ система имеет 4 решения.

в) Наконец, рассмотрим случай $r > 4$.В этом случае $D > 0$ и $16 - r^2 < 0$. Значение параболы $f(y) = y^2 - y + (4 - r^2)$ в точке $y=4$ отрицательно: $f(4) = 16 - r^2 < 0$.Поскольку ветви параболы направлены вверх, это означает, что один корень $y_1$ меньше 4, а другой корень $y_2$ больше 4.- Корень $y_1 < 4$ дает два решения для $x$.- Корень $y_2 > 4$ не дает действительных решений для $x$, так как $x^2 = 4 - y_2 < 0$.Итого получаем 2 решения.

Собирая все случаи воедино, мы видим, что система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения в зависимости от значения положительного параметра $r$.

Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.