Номер 519, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

519. Постройте график уравнения:

а) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0;$

б) $y^2 - x^4 = 0.$

а) Для того чтобы построить график уравнения $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$, приведем его к каноническому виду уравнения окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус. Для этого сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

Исходное уравнение:
$x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$

Выделяем полные квадраты для $x$ и $y$:
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 5 = 0$
Формулы полного квадрата: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае для $x$: $a=x$, $b=1$. Для $y$: $a=y$, $b=2$.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$

Упрощаем выражение:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$

Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 0$, то есть $R=0$. Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку.
Равенство нулю возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
$(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$(y - 2)^2 = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
Следовательно, графиком данного уравнения является единственная точка с координатами $(1, 2)$.

Ответ: Графиком уравнения является точка $(1, 2)$.

б) Рассмотрим уравнение $y^2 - x^4 = 0$.

Преобразуем это уравнение:
$y^2 = x^4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\sqrt{y^2} = \sqrt{x^4}$
$|y| = x^2$

Это уравнение распадается на два:
1. $y = x^2$
2. $y = -x^2$

Графиком уравнения $y = x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.
Графиком уравнения $y = -x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.
Таким образом, график исходного уравнения $y^2 - x^4 = 0$ представляет собой объединение этих двух парабол.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол: $y = x^2$ и $y = -x^2$.