Номер 517, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

517. Докажите, что уравнение имеет единственное решение:

а) $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$;

б) $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$.

а) Чтобы доказать, что данное уравнение имеет единственное решение, преобразуем его, выделив полные квадраты. Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 2x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$: $(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 0$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид: $(x+1)^2 + y^2 = 0$.
В левой части уравнения находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, находим: $$ \begin{cases} x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \\ y = 0 \end{cases} $$ Таким образом, уравнение имеет только одно решение (пару чисел) $x = -1$ и $y = 0$.
Ответ: единственное решение уравнения – это пара чисел $(-1; 0)$.

б) Преобразуем второе уравнение аналогичным образом, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Исходное уравнение: $x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 0$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и представим свободный член $5$ в виде суммы $1+4$:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$.
Первая скобка является полным квадратом разности $(x-1)^2$, а вторая — полным квадратом суммы $(y+2)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$.
Как и в предыдущем пункте, сумма двух неотрицательных выражений $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$ равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Получаем систему: $$ \begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases} $$ Решая систему, получаем: $$ \begin{cases} x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ y+2 = 0 \Rightarrow y = -2 \end{cases} $$ Следовательно, уравнение имеет единственное решение $x = 1$ и $y = -2$.
Ответ: единственное решение уравнения – это пара чисел $(1; -2)$.