Номер 514, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

514. Найдите множество решений системы:

a) $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 7, \\x + xy + y = 5;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19, \\x + xy + y = 1.\end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 7, \\x + xy + y = 5;\end{cases}$

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных, основанную на элементарных симметрических многочленах.

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Перепишем уравнения системы через новые переменные $u$ и $v$.

Второе уравнение: $x + y + xy = 5$ превращается в $u + v = 5$.

Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = 7$. Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Тогда первое уравнение примет вид: $(u^2 - 2v) + v = 7$, что упрощается до $u^2 - v = 7$.

Получаем новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases}u + v = 5, \\u^2 - v = 7.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - (5 - u) = 7$

$u^2 + u - 5 = 7$

$u^2 + u - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $u$. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, корни $u_1 = 3$ и $u_2 = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 3$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - 3 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x + y = 3, \\xy = 2.\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни: $(t-1)(t-2) = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Следовательно, решениями являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = -4$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - (-4) = 9$.

Возвращаемся к исходным переменным. Мы имеем систему:

$\begin{cases}x + y = -4, \\xy = 9.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае система не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, множество решений исходной системы состоит из двух пар чисел.

Ответ: $\{(1, 2), (2, 1)\}$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 19, \\x + xy + y = 1;\end{cases}$

Эта система также является симметрической. Применим ту же замену переменных: $u = x + y$ и $v = xy$.

Преобразуем систему:

Второе уравнение: $x + y + xy = 1$ превращается в $u + v = 1$.

Первое уравнение: $x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - 2xy + xy = u^2 - v = 19$.

Получаем новую систему относительно $u$ и $v$:

$\begin{cases}u + v = 1, \\u^2 - v = 19.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 1 - u$.

Подставим во второе уравнение:

$u^2 - (1 - u) = 19$

$u^2 + u - 1 = 19$

$u^2 + u - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 4$.

Тогда $v = 1 - u = 1 - 4 = -3$.

Получаем систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = 4, \\xy = -3.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t - 3 = 0$.

Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

Корни: $t_1 = 2 + \sqrt{7}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{7}$.

Следовательно, решениями являются пары $(2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7})$ и $(2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})$.

Случай 2: $u = -5$.

Тогда $v = 1 - u = 1 - (-5) = 6$.

Получаем систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = -5, \\xy = 6.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-5)t + 6 = 0$, то есть $t^2 + 5t + 6 = 0$.

Это уравнение легко решается разложением на множители: $(t+2)(t+3) = 0$.

Корни: $t_1 = -2, t_2 = -3$.

Следовательно, решениями являются пары $(-2, -3)$ и $(-3, -2)$.

Таким образом, множество решений исходной системы состоит из четырех пар чисел.

Ответ: $\{(-2, -3), (-3, -2), (2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7}), (2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{7})\}$.