Номер 510, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

510. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0, \\ x^2 - 4xy + 3y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy - 10y^2 = 0 \\ x^2 - 4xy + 3y = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + 3xy - 10y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Мы можем решить его как квадратное уравнение относительно переменной $x$, рассматривая $y$ как параметр.

Найдем корни уравнения $x^2 + (3y)x - 10y^2 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D = (3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2 = (7y)^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-3y \pm \sqrt{49y^2}}{2} = \frac{-3y \pm 7y}{2}$.

Это дает нам два возможных соотношения между $x$ и $y$:

$x_1 = \frac{-3y + 7y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{-3y - 7y}{2} = \frac{-10y}{2} = -5y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные выражения во второе уравнение системы $x^2 - 4xy + 3y = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

Подставляем $x = 2y$ во второе уравнение:

$(2y)^2 - 4(2y)y + 3y = 0$

$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$

$-4y^2 + 3y = 0$

$y(-4y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $-4y+3=0 \implies y=\frac{3}{4}$.

Если $y=0$, то $x=2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

Если $y=\frac{3}{4}$, то $x=2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$. Получаем решение $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$.

Случай 2: $x = -5y$.

Подставляем $x = -5y$ во второе уравнение:

$(-5y)^2 - 4(-5y)y + 3y = 0$

$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$

$45y^2 + 3y = 0$

$3y(15y + 1) = 0$

Отсюда $y=0$ или $15y+1=0 \implies y=-\frac{1}{15}$.

Если $y=0$, то $x=-5 \cdot 0 = 0$. Это снова дает решение $(0, 0)$.

Если $y=-\frac{1}{15}$, то $x=-5 \cdot (-\frac{1}{15}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. Получаем решение $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15})$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\ x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0 \end{cases}$

Первое уравнение $x^2 + xy - 6y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$.

Дискриминант $D = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2) = y^2 + 24y^2 = 25y^2 = (5y)^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$.

Это дает нам два возможных соотношения между $x$ и $y$:

$x_1 = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

$x_2 = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя найденные выражения во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 2y - 6 = 0$.

Случай 1: $x = 2y$.

Подставляем $x = 2y$ во второе уравнение:

$(2y)^2 + 3(2y)y + 2y - 6 = 0$

$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$

$10y^2 + 2y - 6 = 0$

Разделив на 2, получим: $5y^2 + y - 3 = 0$.

Решаем это квадратное уравнение для $y$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$.

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

Находим соответствующие значения $x=2y$:

Если $y = \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}$, то $x = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{5}$. Получаем решение $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$.

Если $y = \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}$, то $x = 2 \cdot \frac{-1 - \sqrt{61}}{10} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{5}$. Получаем решение $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.

Случай 2: $x = -3y$.

Подставляем $x = -3y$ во второе уравнение:

$(-3y)^2 + 3(-3y)y + 2y - 6 = 0$

$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$

$2y - 6 = 0$

$2y = 6 \implies y = 3$.

Находим соответствующее значение $x=-3y$:

$x = -3 \cdot 3 = -9$. Получаем решение $(-9, 3)$.

Ответ: $(-9, 3)$, $(\frac{-1 + \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10})$, $(\frac{-1 - \sqrt{61}}{5}, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10})$.