Номер 512, страница 138 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

512. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ y^2 + xy = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - xy = 7, \\ y^2 - xy = 9. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 6 \\ y^2 + xy = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 6 + 3$

$x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(x+y)^2 = 9$

Отсюда следует, что $x+y = 3$ или $x+y = -3$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy) - (y^2 + xy) = 6 - 3$

$x^2 - y^2 = 3$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-y)(x+y) = 3$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $x+y = 3$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot 3 = 3$

$x-y = 1$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = 4$, откуда $x=2$.

Подставив $x=2$ в первое уравнение ($x+y=3$), получаем $2+y=3$, откуда $y=1$.

Первое решение: $(2, 1)$.

Случай 2: $x+y = -3$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot (-3) = 3$

$x-y = -1$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = -1 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = -4$, откуда $x=-2$.

Подставив $x=-2$ в первое уравнение ($x+y=-3$), получаем $-2+y=-3$, откуда $y=-1$.

Второе решение: $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy = 7 \\ y^2 - xy = 9 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 7 + 9$

$x^2 - 2xy + y^2 = 16$

Используя формулу квадрата разности, получаем:

$(x-y)^2 = 16$

Отсюда следует, что $x-y = 4$ или $x-y = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 7 - 9$

$x^2 - y^2 = -2$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(x-y)(x+y) = -2$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $x-y = 4$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:

$4 \cdot (x+y) = -2$

$x+y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x-y = 4 \\ x+y = -1/2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x=\frac{7}{4}$.

Подставив $x=\frac{7}{4}$ во второе уравнение ($x+y = -1/2$), получаем $\frac{7}{4}+y=-\frac{1}{2}$, откуда $y = -\frac{1}{2} - \frac{7}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{9}{4}$.

Первое решение: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$.

Случай 2: $x-y = -4$.

Подставим это значение в уравнение $(x-y)(x+y) = -2$:

$-4 \cdot (x+y) = -2$

$x+y = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x-y = -4 \\ x+y = 1/2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $2x = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$, откуда $x=-\frac{7}{4}$.

Подставив $x=-\frac{7}{4}$ во второе уравнение ($x+y = 1/2$), получаем $-\frac{7}{4}+y=\frac{1}{2}$, откуда $y = \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$.

Второе решение: $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.

Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{9}{4})$, $(-\frac{7}{4}, \frac{9}{4})$.