Номер 518, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

518. Составьте уравнение, графиком которого является:

а) пара прямых $y=x+5$ и $y=x-5$;

б) окружность $x^2+y^2=4$ и пара прямых $y=-3$ и $y=3$;

в) гипербола $xy=6$ и окружность $x^2+y^2=1$.

а) Чтобы составить одно уравнение, графиком которого является объединение нескольких графиков, заданных уравнениями $F_1(x, y) = 0$, $F_2(x, y) = 0$, ..., $F_n(x, y) = 0$, нужно составить уравнение вида $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) \cdot ... \cdot F_n(x, y) = 0$.

В данном случае у нас есть два графика — пара прямых $y = x + 5$ и $y = x - 5$.

Сначала представим уравнения этих прямых в виде $F(x,y)=0$:

1. $y = x + 5 \Rightarrow y - x - 5 = 0$

2. $y = x - 5 \Rightarrow y - x + 5 = 0$

Теперь перемножим левые части этих уравнений и приравняем произведение к нулю:

$(y - x - 5)(y - x + 5) = 0$

Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = y - x$ и $b = 5$:

$((y - x) - 5)((y - x) + 5) = 0$

$(y - x)^2 - 5^2 = 0$

$(y - x)^2 - 25 = 0$

Ответ: $(y - x)^2 - 25 = 0$.

б) Здесь требуется объединить три графика: окружность $x^2 + y^2 = 4$ и две прямые $y = -3$ и $y = 3$.

Приведем все три уравнения к виду $F(x,y)=0$:

1. Для окружности: $x^2 + y^2 - 4 = 0$

2. Для первой прямой: $y = -3 \Rightarrow y + 3 = 0$

3. Для второй прямой: $y = 3 \Rightarrow y - 3 = 0$

Теперь перемножим левые части этих трех уравнений:

$(x^2 + y^2 - 4)(y + 3)(y - 3) = 0$

Можно упростить произведение, соответствующее двум прямым:

$(y + 3)(y - 3) = y^2 - 9$

Подставим это в общее уравнение:

$(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$

Графиком этого уравнения является объединение окружности $x^2+y^2=4$ и прямых $y=3$ и $y=-3$.

Ответ: $(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0$.

в) В этом пункте нужно объединить гиперболу $xy = 6$ и окружность $x^2 + y^2 = 1$.

Представим оба уравнения в виде $F(x,y)=0$:

1. Для гиперболы: $xy - 6 = 0$

2. Для окружности: $x^2 + y^2 - 1 = 0$

Перемножим левые части этих уравнений:

$(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$

Данное уравнение является искомым. Точка $(x, y)$ удовлетворяет этому уравнению, если она принадлежит либо гиперболе ($xy-6=0$), либо окружности ($x^2+y^2-1=0$).

Ответ: $(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0$.