Номер 525, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

525. Сколько решений может иметь система уравнений

$\begin{cases}x^2 + y^2 = r^2, \\y = -x^2 + 4,\end{cases}$

где $r$ — положительное число?

Для определения количества решений данной системы уравнений, рассмотрим ее аналитически. Система имеет вид:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\y = -x^2 + 4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 4 - y$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $4 - y \ge 0$, то есть $y \le 4$.

Подставим выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:

$(4 - y) + y^2 = r^2$

Приведем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$y^2 - y + (4 - r^2) = 0$

Количество решений исходной системы зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения, которые удовлетворяют условию $y \le 4$. Каждому такому корню $y < 4$ будет соответствовать два значения $x$ ($x = \pm\sqrt{4-y}$), а корню $y=4$ будет соответствовать одно значение $x=0$.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4 - r^2) = 1 - 16 + 4r^2 = 4r^2 - 15$

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения параметра $r > 0$.

1. Если $D < 0$, то уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.$4r^2 - 15 < 0 \implies 4r^2 < 15 \implies r^2 < \frac{15}{4}$.С учетом $r>0$, получаем $0 < r < \frac{\sqrt{15}}{2}$. В этом случае система имеет 0 решений.

2. Если $D = 0$, то уравнение для $y$ имеет один действительный корень.$4r^2 - 15 = 0 \implies r = \frac{\sqrt{15}}{2}$.Корень $y = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.Этот корень удовлетворяет условию $y \le 4$. Найдем соответствующие значения $x$:$x^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{7}{2}}$.Система имеет 2 решения.

3. Если $D > 0$, то уравнение для $y$ имеет два различных действительных корня. Это происходит при $r > \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 15}}{2}$.
Здесь нужно проанализировать, сколько из этих корней удовлетворяет условию $y \le 4$.

а) Рассмотрим случай, когда один из корней равен 4. Подставим $y=4$ в уравнение $y^2 - y + (4 - r^2) = 0$:$4^2 - 4 + (4 - r^2) = 0 \implies 16 - 4 + 4 - r^2 = 0 \implies 16 - r^2 = 0$.Отсюда $r=4$ (так как $r>0$).При $r=4$ уравнение для $y$ имеет вид $y^2 - y - 12 = 0$, его корни $y_1 = -3$ и $y_2 = 4$.- Для $y_1 = -3$: $x^2 = 4 - (-3) = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}$ (два решения).- Для $y_2 = 4$: $x^2 = 4 - 4 = 0 \implies x = 0$ (одно решение).Всего получаем $2+1 = 3$ решения. Таким образом, при $r=4$ система имеет 3 решения.

б) Теперь рассмотрим интервал $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$.В этом случае $D > 0$ и $16 - r^2 > 0$. Парабола $f(y) = y^2 - y + (4 - r^2)$ имеет ветви вверх, а ее значение в точке $y=4$ положительно: $f(4) = 16-r^2 > 0$. Вершина параболы находится в точке $y=1/2$. Поскольку $1/2 < 4$ и $f(4)>0$, оба корня $y_1$ и $y_2$ будут меньше 4.Каждый из этих двух различных корней даст по два различных значения $x$.Итого $2+2 = 4$ решения. Таким образом, при $\frac{\sqrt{15}}{2} < r < 4$ система имеет 4 решения.

в) Наконец, рассмотрим случай $r > 4$.В этом случае $D > 0$ и $16 - r^2 < 0$. Значение параболы $f(y) = y^2 - y + (4 - r^2)$ в точке $y=4$ отрицательно: $f(4) = 16 - r^2 < 0$.Поскольку ветви параболы направлены вверх, это означает, что один корень $y_1$ меньше 4, а другой корень $y_2$ больше 4.- Корень $y_1 < 4$ дает два решения для $x$.- Корень $y_2 > 4$ не дает действительных решений для $x$, так как $x^2 = 4 - y_2 < 0$.Итого получаем 2 решения.

Собирая все случаи воедино, мы видим, что система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения в зависимости от значения положительного параметра $r$.

Ответ: система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.