Номер 531, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

531. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + xy + y = 10, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy + x - y = 13; \end{cases} $

Для решения этой системы удобно применить метод алгебраического сложения, а именно, вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам избавиться от членов $x$ и $xy$.

$ (x + y + xy) - (xy + x - y) = 5 - 13 $

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$ x + y + xy - xy - x + y = -8 $

$ 2y = -8 $

Отсюда находим значение $y$:

$ y = \frac{-8}{2} = -4 $

Теперь подставим найденное значение $y = -4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$ x + (-4) + x(-4) = 5 $

$ x - 4 - 4x = 5 $

$ -3x = 5 + 4 $

$ -3x = 9 $

$ x = \frac{9}{-3} = -3 $

Таким образом, решением системы является пара чисел $(-3; -4)$.

Для проверки подставим найденные значения во второе уравнение системы:

$ xy + x - y = (-3)(-4) + (-3) - (-4) = 12 - 3 + 4 = 13 $.

Получили верное равенство $13 = 13$, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(-3, -4)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = 10, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно сделать замену переменных. Пусть $S = x+y$ и $P = xy$. Преобразуем оба уравнения системы, выразив их через $S$ и $P$.

Первое уравнение можно записать как $(x+y) + xy = 10$, что в новых переменных дает:

$ S + P = 10 $

Второе уравнение преобразуем, вынеся общий множитель: $xy - 2(x+y) = 2$. В новых переменных это уравнение примет вид:

$ P - 2S = 2 $

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными $S$ и $P$:

$ \begin{cases} S + P = 10, \\ P - 2S = 2. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $P$: $P = 10 - S$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$ (10 - S) - 2S = 2 $

$ 10 - 3S = 2 $

$ -3S = 2 - 10 $

$ -3S = -8 $

$ S = \frac{8}{3} $

Теперь найдем $P$:

$ P = 10 - S = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30}{3} - \frac{8}{3} = \frac{22}{3} $

Мы получили, что $x+y = S = \frac{8}{3}$ и $xy = P = \frac{22}{3}$. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения вида $t^2 - St + P = 0$.

Подставим найденные значения $S$ и $P$ в это уравнение:

$ t^2 - \frac{8}{3}t + \frac{22}{3} = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 3:

$ 3t^2 - 8t + 22 = 0 $

Для нахождения корней этого уравнения вычислим его дискриминант $D$:

$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 64 - 264 = -200 $

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных решений.