Номер 538, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

538. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.

Пусть искомые положительные числа — это $x$ и $y$. Для определенности предположим, что $x > y$.

Из условия задачи известно, что сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 5(x - y)$

Также известно, что разность их квадратов равна 180. Это дает нам второе уравнение:
$x^2 - y^2 = 180$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 180 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, перепишем его:
$(x - y)(x + y) = 180$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $(x + y)$ из первого уравнения системы:
$(x - y) \cdot [5(x - y)] = 180$
$5(x - y)^2 = 180$

Разделим обе части уравнения на 5:
$(x - y)^2 = \frac{180}{5}$
$(x - y)^2 = 36$

Поскольку мы предположили, что $x > y$, разность $x - y$ должна быть положительным числом. Следовательно, извлекая квадратный корень, получаем:
$x - y = 6$

Теперь, зная разность, мы можем найти сумму, вернувшись к первому уравнению системы:
$x + y = 5(x - y) = 5 \cdot 6 = 30$

Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 30 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:
$(x - y) + (x + y) = 6 + 30$
$2x = 36$
$x = \frac{36}{2}$
$x = 18$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение простой системы, чтобы найти $y$:
$18 + y = 30$
$y = 30 - 18$
$y = 12$

Мы нашли два положительных числа: 18 и 12. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.
1. Сумма $18 + 12 = 30$. Разность $18 - 12 = 6$. Сумма $30$ действительно в 5 раз больше разности $6$ ($30 = 5 \cdot 6$).
2. Разность квадратов $18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180$.
Оба условия выполняются.

Ответ: 18 и 12.