Номер 544, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

544. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров.

Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон. По условию задачи, диагональ равна 15 см. На основе этого мы можем составить первое уравнение:
$a^2 + b^2 = 15^2$
$a^2 + b^2 = 225$

Периметр исходного прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Далее, по условию, одну из сторон уменьшают на 6 см, а другую — на 8 см. Новые длины сторон становятся $(a - 6)$ см и $(b - 8)$ см. Это означает, что исходные стороны должны быть больше, чем величина их уменьшения, то есть $a > 6$ и $b > 8$ (или $a > 8$ и $b > 6$).

Периметр нового, уменьшенного прямоугольника равен $P' = 2((a - 6) + (b - 8))$. Упростим это выражение:
$P' = 2(a + b - 14)$

В задаче сказано, что периметр уменьшился в 3 раза, то есть $P = 3P'$. Используя это соотношение, составим второе уравнение:
$2(a + b) = 3 \cdot P'$
$2(a + b) = 3 \cdot 2(a + b - 14)$

Сократим обе части уравнения на 2 и решим его относительно $a+b$:
$a + b = 3(a + b - 14)$
$a + b = 3a + 3b - 42$
$42 = 3a - a + 3b - b$
$42 = 2a + 2b$
$a + b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a^2 + b^2 = 225$
2) $a + b = 21$

Для решения системы выразим $b$ из второго уравнения: $b = 21 - a$.

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение:
$a^2 + (21 - a)^2 = 225$
$a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225$
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$
$2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0$
$2a^2 - 42a + 216 = 0$

Разделим все члены квадратного уравнения на 2 для его упрощения:
$a^2 - 21a + 108 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 21, а их произведение равно 108. Такими числами являются 9 и 12.
Следовательно, корни уравнения: $a_1 = 9$ и $a_2 = 12$.

Найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя формулу $b = 21 - a$:
Если $a = 9$ см, то $b = 21 - 9 = 12$ см.
Если $a = 12$ см, то $b = 21 - 12 = 9$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.

Проведем проверку.
1. Проверка диагонали: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Корень из 225 равен 15. Условие выполняется.
2. Проверка периметров:
Исходный периметр: $P = 2(9 + 12) = 2 \cdot 21 = 42$ см.
Уменьшим стороны: одну на 6 см (например, 12-6=6 см), другую на 8 см (9-8=1 см).
Новый периметр: $P' = 2(6 + 1) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Соотношение периметров: $P / P' = 42 / 14 = 3$. Условие также выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.