Номер 549, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

549. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Первый вышел из $A$ на 6 ч позже, чем второй из $B$, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в $B$ через 8 ч, а второй — в $A$ через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Обозначим скорости туристов $v_1$ (первого, из пункта А) и $v_2$ (второго, из пункта В) в км/ч. Пусть $t$ — время, которое был в пути первый турист до встречи (в часах). Поскольку он вышел на 6 часов позже второго, то второй турист до встречи был в пути $t + 6$ часов.

Пусть M — точка их встречи. Расстояние, которое прошел первый турист до встречи, равно $S_{AM}$, а расстояние, которое прошел второй, — $S_{MB}$.

Исходя из условия, составим уравнения:

1. Расстояние, пройденное первым туристом до встречи: $S_{AM} = v_1 \cdot t$.

2. Расстояние, пройденное вторым туристом до встречи: $S_{MB} = v_2 \cdot (t + 6)$.

3. При встрече оказалось, что первый прошел на 12 км меньше второго:

$S_{AM} = S_{MB} - 12 \implies v_1 t = v_2 (t+6) - 12$.

4. После встречи первый турист прошел оставшийся путь ($S_{MB}$) до пункта В за 8 часов:

$S_{MB} = v_1 \cdot 8$.

5. Второй турист после встречи прошел оставшийся путь ($S_{AM}$) до пункта А за 9 часов:

$S_{AM} = v_2 \cdot 9$.

Теперь у нас есть система уравнений для решения задачи. Приравняем выражения для $S_{AM}$ и $S_{MB}$:

$v_1 t = 9v_2 \implies t = \frac{9v_2}{v_1}$

$v_2 (t+6) = 8v_1 \implies t+6 = \frac{8v_1}{v_2}$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:

$\frac{9v_2}{v_1} + 6 = \frac{8v_1}{v_2}$

Это уравнение связывает скорости $v_1$ и $v_2$. Умножим обе части уравнения на $v_1 v_2$, чтобы избавиться от знаменателей (скорости не могут быть равны нулю):

$9v_2^2 + 6v_1 v_2 = 8v_1^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить уравнение, похожее на квадратное:

$8v_1^2 - 6v_1 v_2 - 9v_2^2 = 0$

Разделим все уравнение на $v_2^2$ (так как $v_2 \neq 0$) и введем замену $x = \frac{v_1}{v_2}$:

$8(\frac{v_1}{v_2})^2 - 6(\frac{v_1}{v_2}) - 9 = 0$

$8x^2 - 6x - 9 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 18}{16}$

Получаем два возможных значения для отношения скоростей:

$x_1 = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{6 - 18}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

Поскольку скорости являются положительными величинами, их отношение также должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем $x_1 = \frac{3}{2}$.

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2} \implies v_1 = \frac{3}{2} v_2$.

Теперь вернемся к одному из начальных условий. Подставим выражения $S_{AM} = 9v_2$ и $S_{MB} = 8v_1$ в уравнение о разности расстояний $S_{AM} = S_{MB} - 12$:

$9v_2 = 8v_1 - 12$

Теперь подставим в это уравнение найденное соотношение $v_1 = \frac{3}{2} v_2$:

$9v_2 = 8 \cdot (\frac{3}{2} v_2) - 12$

$9v_2 = 12v_2 - 12$

$3v_2 = 12$

$v_2 = 4$

Скорость второго туриста равна 4 км/ч. Теперь найдем скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{3}{2} v_2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

Скорость первого туриста равна 6 км/ч.

Ответ: скорость первого туриста — 6 км/ч, скорость второго туриста — 4 км/ч.