Номер 547, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

547. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч. Общее расстояние между городами $S = 270$ км.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу и встречаются через 3 часа, их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. За время до встречи они вместе проходят все расстояние $S$. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Разделив обе части на 3, получим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = 90$

Отсюда можно выразить скорость второго поезда: $v_2 = 90 - v_1$.

По условию, один из поездов тратит на весь путь на 1 час 21 минуту больше, чем другой. Переведем эту разницу во времени в часы:

$\Delta t = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин} = 1 + \frac{21}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{7}{20} \text{ ч} = \frac{27}{20} \text{ ч}$.

Время, которое каждый поезд тратит на весь путь $S = 270$ км, определяется как $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{270}{v_1}$ и $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{270}{v_2}$. Предположим, что первый поезд медленнее второго ($v_1 < v_2$), тогда его время в пути будет больше ($t_1 > t_2$). Разница во времени дает нам второе уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20}$

Теперь составим систему уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20} \end{cases}$

Подставим выражение $v_2 = 90 - v_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{270}{v_1} - \frac{270}{90 - v_1} = \frac{27}{20}$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 27:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{90 - v_1} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(90 - v_1)$:

$\frac{10(90 - v_1) - 10v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 10v_1 - 10v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 20v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

Используем правило пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$20(900 - 20v_1) = 1 \cdot (90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 - 400v_1 - 90v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$.

Теперь найдем два возможных значения для $v_1$ по формуле корней квадратного уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-(-490) + 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-(-490) - 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня. Скорость поезда должна быть положительной величиной, а их сумма должна быть равна 90 км/ч.

1. Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Этот корень не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной.

2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Оба значения положительны. Проверим разницу во времени: время первого поезда $t_1 = \frac{270}{40} = 6.75$ ч, время второго поезда $t_2 = \frac{270}{50} = 5.4$ ч. Разница $t_1 - t_2 = 6.75 - 5.4 = 1.35$ ч. $1.35 \text{ ч} = 1 \text{ ч } + 0.35 \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин}$. Это соответствует условию задачи.

Следовательно, скорости поездов равны 40 км/ч и 50 км/ч.

Ответ: 40 км/ч и 50 км/ч.