Номер 551, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

551. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4;$

б) $y \le x^2 - 5x + 6.$

а)

Данное неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$.

Сначала рассмотрим соответствующее равенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения находим:

• Координаты центра окружности: $x_0 = 3$, $y_0 = -3$. Таким образом, центр находится в точке $C(3, -3)$.
• Радиус окружности: $R^2 = 4$, следовательно, $R = \sqrt{4} = 2$.

Неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$ является нестрогим, это означает, что точки, лежащие на самой окружности, также являются решением. Поэтому граница множества — окружность — изображается сплошной линией.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат расстояния от произвольной точки $(x, y)$ до центра $(3, -3)$. Неравенство требует, чтобы это расстояние было меньше или равно радиусу $2$. Это условие выполняется для всех точек, находящихся внутри окружности и на её границе.

Таким образом, искомое множество точек — это круг (окружность вместе с её внутренней областью).

Ответ: Множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой круг с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $2$. Граница круга (окружность) включена в множество.

б)

Данное неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$.

Границей искомого множества является график функции $y = x^2 - 5x + 6$. Это квадратичная функция, её график — парабола.

Проанализируем параболу:

• Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
  $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$.
  $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
  Вершина параболы находится в точке $(2.5, -0.25)$.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  При $x = 0$, $y = 6$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 6)$.
  При $y = 0$, решаем уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с осью OX: $(2, 0)$ и $(3, 0)$.

Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ является нестрогим, поэтому точки, лежащие на самой параболе, включаются в решение. Граница (парабола) изображается сплошной линией.

Неравенство определяет все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна ординате точек на параболе при том же значении $x$. Геометрически это соответствует области, расположенной под параболой.

Для проверки можно взять пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $0 \le 0^2 - 5 \cdot 0 + 6$, что дает $0 \le 6$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, является частью решения. Эта область находится под параболой.

Ответ: Множество точек, задаваемое данным неравенством, — это часть координатной плоскости, расположенная ниже параболы $y = x^2 - 5x + 6$, включая саму параболу.