Номер 554, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

554. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $y \ge |x|;$

б) $y \le |x - 2|.$

а)

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства $y \ge |x|$, выполним следующие шаги:

1. Построение границы. Сначала построим график функции, соответствующей равенству $y = |x|$. Этот график является границей искомой области. По определению модуля, функцию $y = |x|$ можно разбить на две части:

• $y = x$ при $x \ge 0$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла.
• $y = -x$ при $x < 0$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла.

График представляет собой "галочку" (или V-образную кривую) с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Поскольку исходное неравенство нестрогое ($ \ge $), точки на самой линии $y = |x|$ являются частью решения, поэтому граница изображается сплошной линией.

2. Определение области решений. Неравенство $y \ge |x|$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ больше или равна значению $|x|$. Геометрически это соответствует области, расположенной выше графика $y = |x|$.

3. Проверка с помощью контрольной точки. Чтобы убедиться в правильности выбора области, возьмем любую точку, не лежащую на границе $y = |x|$. Например, точку $(0, 3)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $3 \ge |0|$ $3 \ge 0$ Неравенство верное. Это подтверждает, что область, в которой лежит точка $(0, 3)$, является искомым множеством решений. Эта область находится "внутри" V-образного графика, то есть над ним.

Таким образом, множество решений неравенства $y \ge |x|$ — это все точки, лежащие на и выше графика функции $y = |x|$.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная снизу лучами $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Сами лучи включены в решение.

б)

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства $y \le |x - 2|$, выполним следующие шаги:

1. Построение границы. Сначала построим график граничной функции $y = |x - 2|$. Этот график можно получить из графика $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина "галочки" окажется в точке $(2, 0)$. Функцию также можно представить в виде системы:

• $y = x - 2$ при $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$.
• $y = -(x - 2) = -x + 2$ при $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$.

Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), граница $y = |x - 2|$ включается в множество решений и изображается сплошной линией.

2. Определение области решений. Неравенство $y \le |x - 2|$ означает, что нас интересуют все точки $(x, y)$, у которых ордината $y$ меньше или равна значению $|x - 2|$. Геометрически это соответствует области, расположенной ниже графика $y = |x - 2|$.

3. Проверка с помощью контрольной точки. Возьмем контрольную точку, не лежащую на границе. Например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $0 \le |0 - 2|$ $0 \le |-2|$ $0 \le 2$ Неравенство верное. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область находится "снаружи" V-образного графика, то есть под ним.

Таким образом, множество решений неравенства $y \le |x - 2|$ — это все точки, лежащие на и ниже графика функции $y = |x - 2|$.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная сверху лучами $y=x-2$ для $x \ge 2$ и $y=-x+2$ для $x < 2$. Сами лучи включены в решение.