Номер 557, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

557. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25, \\ xy \leq 0; \end{cases}$б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 9, \\ xy \geq 0. \end{cases}$

а) Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает на координатной плоскости замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$. Это множество включает все точки внутри окружности и на самой окружности.

Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется в тех случаях, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки ($x > 0, y < 0$ или $x < 0, y > 0$) или когда хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным во второй и четвертой координатных четвертях, включая оси координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это та часть круга $x^2 + y^2 \le 25$, которая лежит во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы области (соответствующие дуги окружности и отрезки осей координат) включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой два замкнутых сектора круга с центром в начале координат и радиусом 5, расположенные во второй и четвертой координатных четвертях.

б) Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ задает на координатной плоскости все точки, расположенные на и вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется в тех случаях, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки ($x > 0, y > 0$ или $x < 0, y < 0$) или когда хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным в первой и третьей координатных четвертях, включая оси координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество — это все точки первой и третьей координатных четвертей, которые лежат на или вне окружности $x^2 + y^2 = 9$. Поскольку оба неравенства нестрогие, границы области (соответствующие дуги окружности и части осей координат) включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой все точки первой и третьей координатных четвертей, за исключением точек, лежащих внутри круга $x^2+y^2=9$ (то есть, из которых "вырезан" открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат).