Номер 559, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

559. Каким множеством точек изображается множество решений неравенства:

a) $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0;$

б) $x(x^2 - y) \le 0?$

а) Данное неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$ представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны).

Границы, которые разделяют координатную плоскость на области, определяются уравнениями $y=0$ (ось Ox) и $x^2 + y^2 - 1 = 0$ (единичная окружность с центром в начале координат).

Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя неотрицательны: $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$. Система этих неравенств $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ описывает множество точек, расположенных в верхней полуплоскости (включая ось Ox) и одновременно на или вне единичной окружности.

2. Оба множителя неположительны: $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$. Система этих неравенств $y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ описывает множество точек, расположенных в нижней полуплоскости (включая ось Ox) и одновременно на или внутри единичной окружности.

Искомое множество точек является объединением решений из этих двух случаев. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки, лежащие на границах (на оси Ox и на окружности $x^2 + y^2 = 1$), также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: множества точек, для которых $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 \ge 1$ (точки в верхней полуплоскости на и вне единичной окружности), и множества точек, для которых $y \le 0$ и $x^2 + y^2 \le 1$ (точки в нижней полуплоскости на и внутри единичной окружности).

б) Неравенство $x(x^2 - y) \le 0$ также решается анализом знаков двух множителей. Произведение неположительно, если множители имеют разные знаки или один из них равен нулю.

Границами областей являются линии, где множители равны нулю: $x = 0$ (ось Oy) и $x^2 - y = 0$, то есть парабола $y = x^2$.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен: $x \ge 0$ и $x^2 - y \le 0$. Эта система эквивалентна $x \ge 0$ и $y \ge x^2$. Геометрически это множество точек, находящихся в правой полуплоскости (включая ось Oy) и одновременно на или выше параболы $y = x^2$.

2. Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен: $x \le 0$ и $x^2 - y \ge 0$. Эта система эквивалентна $x \le 0$ и $y \le x^2$. Геометрически это множество точек, находящихся в левой полуплоскости (включая ось Oy) и одновременно на или ниже параболы $y = x^2$.

Общее решение является объединением множеств точек из этих двух случаев. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), точки на границах (на оси Oy и на параболе $y = x^2$) также включаются в множество решений.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: множества точек, для которых одновременно выполняются условия $x \ge 0$ и $y \ge x^2$, и множества точек, для которых одновременно выполняются условия $x \le 0$ и $y \le x^2$.