Номер 558, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

558. Укажите какие-нибудь значения k и b, при которых система неравенств

$$\begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge kx + b \end{cases}$$

задаёт на координатной плоскости:

a) полосу;

б) угол.

а)

Система неравенств задает на координатной плоскости полосу, если ее граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ параллельны, но не совпадают. Область решений в этом случае будет находиться между этими прямыми.

Прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой $y = 2x + 3$ равен $2$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ также должен быть равен $2$.

При $k = 2$ система неравенств принимает вид: $ \begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge 2x + b \end{cases} $

Это можно записать как двойное неравенство: $2x + b \le y \le 2x + 3$.

Чтобы это неравенство задавало именно полосу (а не прямую или пустое множество), прямая $y = 2x + b$ должна находиться строго ниже прямой $y = 2x + 3$. Поскольку прямые параллельны, это означает, что свободный член $b$ должен быть строго меньше свободного члена $3$. Таким образом, должно выполняться условие $b < 3$.

В качестве примера можно выбрать любые значения, удовлетворяющие условиям $k = 2$ и $b < 3$. Возьмем, например, $k = 2$ и $b = 0$.

Ответ: например, $k = 2$, $b = 0$.

б)

Система неравенств задает на координатной плоскости угол, если ее граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ пересекаются.

Прямые на плоскости пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $2$. Следовательно, угловой коэффициент второй прямой $k$ не должен быть равен $2$. То есть, должно выполняться условие $k \neq 2$.

Значение свободного члена $b$ может быть любым действительным числом, так как оно влияет только на положение точки пересечения прямых, но не на сам факт их пересечения (при условии $k \neq 2$).

В качестве примера можно выбрать любые значения, удовлетворяющие условию $k \neq 2$. Возьмем, например, $k = 1$ и $b = 1$.

При этих значениях система примет вид: $ \begin{cases} y \le 2x + 3, \\ y \ge x + 1 \end{cases} $

Прямые $y = 2x + 3$ и $y = x + 1$ пересекаются, и решение системы представляет собой область на плоскости, ограниченную лучами этих прямых, что и является углом.

Ответ: например, $k = 1$, $b = 1$.